Uma partícula se move segundo a equação
, sendo
medido em metros e
em segundos. Em que instante a sua velocidade vale
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição em metros é dada pela função
, onde
está em segundos. Queremos descobrir em que instante a velocidade dessa partícula é igual a 9 m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Derivando cada termo de
:
Usando as regras de derivação:
Então, a função da velocidade é
.
Passo 4
Agora, queremos saber em que instante
m/s. Então, vamos igualar a função da velocidade a 9 e resolver para
:
Passo 5
Subtraindo 9 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática:
. Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 7
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais.
Passo 8
Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 9
Como tempo não pode ser negativo, descartamos
. Portanto, o instante em que a velocidade é 9 m/s é quando
segundos.
Resposta
A velocidade da partícula é igual a 9 m/s no instante
segundos.