Uma partícula se move segundo a equação S(t) = t^3 - 2t^2 + 5t - 1, sendo S medido em metros e t em segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição em metros é dada pela função , onde está em segundos. Queremos descobrir em que instante a velocidade dessa partícula é igual a 9 m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a .

Passo 3

Derivando cada termo de :
Usando as regras de derivação:
Então, a função da velocidade é .

Passo 4

Agora, queremos saber em que instante m/s. Então, vamos igualar a função da velocidade a 9 e resolver para :

Passo 5

Subtraindo 9 de ambos os lados para igualar a equação a zero:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática: . Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( ):
Como , teremos duas soluções reais.

Passo 8

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 9

Como tempo não pode ser negativo, descartamos . Portanto, o instante em que a velocidade é 9 m/s é quando segundos.

Resposta

A velocidade da partícula é igual a 9 m/s no instante segundos.

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