Uma partícula se move segundo a equação , sendo medido em metros e em segundos. Em que instante a sua velocidade vale ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula cuja posição em metros é dada pela função , onde está em segundos. Queremos descobrir em que instante a velocidade dessa partícula é igual a 9 m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a .

Passo 3

Derivando cada termo de :
Usando as regras de derivação:
Então, a função da velocidade é .

Passo 4

Agora, queremos saber em que instante m/s. Então, vamos igualar a função da velocidade a 9 e resolver para :

Passo 5

Subtraindo 9 de ambos os lados para igualar a equação a zero:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática: . Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( ):
Como , teremos duas soluções reais.

Passo 8

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 9

Como tempo não pode ser negativo, descartamos . Portanto, o instante em que a velocidade é 9 m/s é quando segundos.

Resposta

A velocidade da partícula é igual a 9 m/s no instante segundos.

Exercícios relacionados

[Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é , com em metros e em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300 m de altura. Determine a velocidade , quando .
[FLEMMING / Adaptada] Uma região é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo ?
Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo seja dado por , onde é medido em meses desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim: A que taxa a população está crescendo em quatro meses?
Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo seja dado por , onde é medido em meses desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim: Quantos mariscos zebra existirão na baía depois de quatro meses?