[Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é , com em metros e em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300 m de altura. Determine a velocidade , quando .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma situação de queda livre na superfície de Júpiter, onde a posição da esfera em função do tempo é dada pela equação , com em metros e em segundos. A esfera de aço é largada de um penhasco de 300 metros de altura. Queremos descobrir qual será a velocidade dessa esfera, em quilômetros por hora, quando segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma queda livre, a velocidade pode ser obtida diferenciando a posição em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade , derivamos em relação a :

Passo 3

Derivando a função :
Então, a velocidade em metros por segundo é igual a multiplicado pelo tempo em segundos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade quando segundos:

Passo 5

Mas o exercício pede a velocidade em quilômetros por hora. Para converter de metros por segundo para quilômetros por hora, usamos a relação:
Então, multiplicamos a velocidade em m/s por 3,6:

Resposta

A velocidade da esfera quando segundos é aproximadamente 247,1 km/h.

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