Um fluido atravessa a secção circular de um tubo com velocidade
V(r)=3(1-rr 0)^17
onde r é a distância radial ao centro da secção e r0=4 cm é o raio da secção. Determine a quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa esta secção, dada por
Q=2 pi integral0^r 0 r v(r) d r
No cálculo utilize 5 pontos igualmente espaçados no intervalo [0,2] e 6 pontos igualmente espaçados no restante intervalo. Use as fórmulas numéricas de integração mais apropriadas para cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido que está passando por um tubo com uma seção circular, e a velocidade do fluido varia radialmente de acordo com a fórmula:
V(r) = 3(1 - rr0)^17
onde Q = 2pi integral0^r0 r V(r) , dr é a distância do ponto ao centro da seção, e cm é o raio da seção. O que precisamos encontrar é a quantidade de fluido que passa por essa seção por unidade de tempo, chamada de vazão . Para isso, vamos calcular a integral:
Vamos usar métodos de integração numérica dividindo o intervalo de integração em partes específicas com pontos igualmente espaçados.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a velocidade Q = 2pi integral0^4 r cdot 3(1 - r4)^17 , dr na expressão da vazão Q = 6pi integral0^4 r (1 - r4)^17 , dr :
Podemos simplificar isso para:

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
  1. De 0 a 2 cm, com 5 pontos igualmente espaçados.
  2. De 2 a 4 cm, com 6 pontos igualmente espaçados.
Isso significa que:
  • No intervalo [0,2], a distância entre os pontos é cm.
  • No intervalo [2,4], a distância entre os pontos é cm.

Passo 4

Para calcular a integral, vamos usar a regra de Simpson para ambos os intervalos, já que ela é adequada para funções suaves e proporciona boa precisão com poucos pontos.
No intervalo [0,2] com 5 pontos:
Os pontos são: integrala^b f(r) , dr approx De
A regra de Simpson para um número ímpar de pontos (n = 4 subintervalos) é:
integrala^b f(r) , dr approx 3De
No intervalo [2,4] com 6 pontos:
Os pontos são:
Aqui, temos 5 subintervalos, então usamos a regra de Simpson 3/8:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para [0,2] cm:
Calculamos integral0^2 f(r) , dr approx 0.53 [ 0 + 4(0.4580) + 2(0.8414) + 4(1.1643) + 1.4404 ] para cada ponto:
  • 0 + 1.8320 + 1.6828 + 4.6572 + 1.4404 = 9.6124
  • integral0^2 f(r) , dr approx 0.53 times 9.6124 approx 1.6021 , cm^2
  • integral2^4 f(r) , dr approx 3 times 0.48 [ 1.4404 + 3(1.5852) + 3(1.7251) + 2(1.8666) + 3(2.0140) + 3(0) + 0 ]
  • 1.4404 + 4.7556 + 5.1753 + 3.7332 + 6.0420 + 0 + 0 = 20.1465
  • integral2^4 f(r) , dr approx 1.28 times 20.1465 approx 3.0355 , cm^2
Aplicando a regra de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Para [2,4] cm:
Calculamos para cada ponto:
Aplicando a regra de Simpson 3/8:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos dois intervalos para obter a integral total:
integral0^4 f(r) , dr approx 1.6021 + 3.0355 = 4.6376 , cm^2
Multiplicando pelo Q = 6pi times 4.6376 approx 6 times 3.1416 times 4.6376 approx 87.685 , cm^3/s que estava fora da integral:

Resposta

A quantidade de fluido que atravessa a seção por unidade de tempo é aproximadamente .

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