Um fluido atravessa a secção circular de um tubo com velocidade
onde r é a distância radial ao centro da secção e é o raio da secção. Determine a quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa esta secção, dada por
No cálculo utilize 5 pontos igualmente espaçados no intervalo [0,2] e 6 pontos igualmente espaçados no restante intervalo. Use as fórmulas numéricas de integração mais apropriadas para cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido que está passando por um tubo com uma seção circular, e a velocidade do fluido varia radialmente de acordo com a fórmula:
onde é a distância do ponto ao centro da seção, e cm é o raio da seção. O que precisamos encontrar é a quantidade de fluido que passa por essa seção por unidade de tempo, chamada de vazão . Para isso, vamos calcular a integral:
Vamos usar métodos de integração numérica dividindo o intervalo de integração em partes específicas com pontos igualmente espaçados.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a velocidade na expressão da vazão :
Podemos simplificar isso para:

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes:
  1. De 0 a 2 cm, com 5 pontos igualmente espaçados.
  2. De 2 a 4 cm, com 6 pontos igualmente espaçados.
Isso significa que:
  • No intervalo [0,2], a distância entre os pontos é cm.
  • No intervalo [2,4], a distância entre os pontos é cm.

Passo 4

Para calcular a integral, vamos usar a regra de Simpson para ambos os intervalos, já que ela é adequada para funções suaves e proporciona boa precisão com poucos pontos.
No intervalo [0,2] com 5 pontos:
Os pontos são:
A regra de Simpson para um número ímpar de pontos (n = 4 subintervalos) é:
No intervalo [2,4] com 6 pontos:
Os pontos são:
Aqui, temos 5 subintervalos, então usamos a regra de Simpson 3/8:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para [0,2] cm:
Calculamos para cada ponto:
Aplicando a regra de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Para [2,4] cm:
Calculamos para cada ponto:
Aplicando a regra de Simpson 3/8:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos dois intervalos para obter a integral total:
Multiplicando pelo que estava fora da integral:

Resposta

A quantidade de fluido que atravessa a seção por unidade de tempo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere a tabela de valores de uma função polinomial de grau menor ou igual a três que descreve a velocidade de um ciclista em cinco instantes de tempo:
Ti 0 1 2 3 4
1 c 3 0 0
a- Utilize a regra de Simpson com , para obter uma aproximação ao espaço percorrido, i.e.,
Seja t o intervalo de tempo, em minutos, que separa a chegada de duas mensagens consecutivas a uma caixa de correio electrónico. Esta variável t é aleatória e segue a seguinte função densidade de probabilidade:
Calcule, numericamente, a probabilidade do intervalo de tempo entre duas mensagens ser menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcule ), utilizando a fórmula composta de Simpson de forma a que o erro de truncatura seja inferior a .
NOTA:
Utilize o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel para esse mesmo sistema. O que você pode dizer sobre a convergência dos métodos?
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
c.