Seja t o intervalo de tempo, em minutos, que separa a chegada de duas mensagens consecutivas a uma caixa de correio electrónico. Esta variável t é aleatória e segue a seguinte função densidade de probabilidade:
Calcule, numericamente, a probabilidade do intervalo de tempo entre duas mensagens ser menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcule
), utilizando a fórmula composta de Simpson de forma a que o erro de truncatura seja inferior a
.
NOTA:
NOTA:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade
que descreve o intervalo de tempo entre a chegada de duas mensagens consecutivas em uma caixa de correio eletrônico. A função é dada por:
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas mensagens seja menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcular
. Para isso, vamos usar a fórmula composta de Simpson, que é um método numérico para aproximar integrais definidas com alta precisão. Precisamos garantir que o erro de truncatura seja inferior a
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a probabilidade que queremos calcular como uma integral:
Para resolver essa integral numericamente, vamos utilizar a Regra de Simpson composta. Essa regra divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos iguais e aplica uma fórmula polinomial de segundo grau para aproximar a área sob a curva.
Passo 3
A Regra de Simpson composta é dada por:
onde:
-
é o tamanho de cada subintervalo, -
é o número de subintervalos (deve ser par), -
são os pontos de amostragem.
O erro estimado da Regra de Simpson é:
Queremos que esse erro seja menor que
.
Passo 4
Primeiro, precisamos determinar o número mínimo de subintervalos
para garantir o erro desejado. Vamos calcular a quarta derivada de
:
O máximo de
no intervalo
é
. Substituindo na fórmula do erro:
Como
, temos:
Como
precisa ser par, escolhemos
.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de Simpson composta com
. Calculamos
:
Calculamos os pontos
:
Calculamos
:
Aplicando a fórmula:
Calculando os termos:
Somando tudo:
Multiplicando por
:
Resposta
A probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas mensagens seja menor ou igual a 2 minutos é aproximadamente
ou 86,47%.