Seja t o intervalo de tempo, em minutos, que separa a chegada de duas mensagens consecutivas a uma caixa de correio electrónico. Esta variável t é aleatória e segue a seguinte função densidade de probabilidade:
f(t)=c 0 , se t <= 0 e^-t , se t>0
Calcule, numericamente, a probabilidade do intervalo de tempo entre duas mensagens ser menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcule P(t <= 2 ), utilizando a fórmula composta de Simpson de forma a que o erro de truncatura seja inferior a 3 times 10^-4.
NOTA: P(t <= 2)=integral0^2 f(t) d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade f(t)=c 0 , se t <= 0 e^-t , se t>0 que descreve o intervalo de tempo entre a chegada de duas mensagens consecutivas em uma caixa de correio eletrônico. A função é dada por:
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas mensagens seja menor ou igual a 2 minutos, ou seja, calcular . Para isso, vamos usar a fórmula composta de Simpson, que é um método numérico para aproximar integrais definidas com alta precisão. Precisamos garantir que o erro de truncatura seja inferior a .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a probabilidade que queremos calcular como uma integral:
P(t <= 2) = integral0^2 e^-t , dt
Para resolver essa integral numericamente, vamos utilizar a Regra de Simpson composta. Essa regra divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos iguais e aplica uma fórmula polinomial de segundo grau para aproximar a área sob a curva.

Passo 3

A Regra de Simpson composta é dada por:
integrala^b f(t) , dt approx h3 [ f(t0) + 4 sumi=1,3,5,dots^n-1 f(ti) + 2 sumi=2,4,6,dots^n-2 f(ti) + f(tn) ]
onde:
  • E approx -(b - a) h^4180 maxa <= t <= b |f^(4)(t)| é o tamanho de cada subintervalo,
  • é o número de subintervalos (deve ser par),
  • são os pontos de amostragem.
O erro estimado da Regra de Simpson é:
Queremos que esse erro seja menor que .

Passo 4

Primeiro, precisamos determinar o número mínimo de subintervalos f(t) = e^-t f'(t) = -e^-t f''(t) = e^-t f'''(t) = -e^-t f^(4)(t) = e^-t para garantir o erro desejado. Vamos calcular a quarta derivada de (2 - 0) h^4180 <= 3 times 10^-4 2 h^4180 <= 3 times 10^-4 h^4 <= 3 times 10^-4 times 1802 h^4 <= 0,027 h <= raiz[4]0,027 approx 0,3 :
n >= 20,3 approx 6,666
O máximo de no intervalo é . Substituindo na fórmula do erro:
Como , temos:
Como precisa ser par, escolhemos .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Simpson composta com h = 28 = 0,25 . Calculamos t0 = 0 t1 = 0,25 t2 = 0,5 t3 = 0,75 t4 = 1 t5 = 1,25 t6 = 1,5 t7 = 1,75 t8 = 2 :
f(t0) = 1 f(t1) approx 0,7788 f(t2) approx 0,6065 f(t3) approx 0,4724 f(t4) approx 0,3679 f(t5) approx 0,2865 f(t6) approx 0,2231 f(t7) approx 0,1738 f(t8) approx 0,1353
Calculamos os pontos integral0^2 e^-t , dt approx 0,253 [ 1 + 4(0,7788 + 0,4724 + 0,2865 + 0,1738) + 2(0,6065 + 0,3679 + 0,2231) + 0,1353 ] :
4 times (0,7788 + 0,4724 + 0,2865 + 0,1738) = 4 times 1,7115 = 6,846 2 times (0,6065 + 0,3679 + 0,2231) = 2 times 1,1975 = 2,395
Calculamos 1 + 6,846 + 2,395 + 0,1353 = 10,3763 :
0,253 times 10,3763 approx 0,0833 times 10,3763 approx 0,8647
Aplicando a fórmula:
Calculando os termos:
Somando tudo:
Multiplicando por :

Resposta

A probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas mensagens seja menor ou igual a 2 minutos é aproximadamente ou 86,47%.

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