Um fluido escoa através de uma tubulação cilíndrica, horizontal, estacionária e com raio constante. O perfil de velocidade (u) do fluido dentro da tubulação é dado por:
u=R^24 mu(De
Onde R é o raio da tubulação, De é a variação de pressão entre a entrada e a saída da tubulação e L é o comprimento da tubulação. Encontre a equação para a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo do raio. Em seguida, atribua valores para o diâmetro interno do cilindro, para a viscosidade e para De a densidade do fluido, para e para o comprimento L da tubulação e calcule a força por unidade de comprimento (força em N sentida em cada 1 m de seção da tubulação) exercida pelo fluido sobre a parede interna do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um fluido que está escoando através de uma tubulação cilíndrica que é horizontal, estacionária e tem raio constante. O perfil de velocidade do fluido está dado pela equação:
u=R^24 mu(De
Aqui, é o raio da tubulação, é a variação de pressão ao longo da tubulação, é o comprimento da tubulação, é a viscosidade do fluido e é a distância radial do centro da tubulação. O conteúdo principal dessa questão está relacionado à dinâmica de fluidos, mais especificamente ao escoamento laminar em tubos. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar a velocidade do fluido com a tensão de cisalhamento e, posteriormente, calcular a força exercida pelo fluido na parede da tubulação.

Passo 2

Agora, vamos encontrar a equação para a distribuição da tensão de cisalhamento tau(r) = mu dudr ao longo do raio. A tensão de cisalhamento em um fluido é dada pela relação:
u = R^24 mu(De
Isso significa que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade em relação ao raio. Vamos derivar dudr = R^24 mu(De a partir da equação de velocidade fornecida.
Começamos diferenciando tau(r) = mu (-De em relação a tau(r) = De:
tau(r) = De
Derivando em relação a :
Agora, substituímos na equação da tensão de cisalhamento:
Como a tensão de cisalhamento é uma magnitude, podemos considerar o valor absoluto:
Então, a equação para a tensão de cisalhamento ao longo do raio é:

Passo 3

Agora, vamos atribuir valores aos parâmetros e calcular a força por unidade de comprimento exercida pelo fluido sobre a parede interna do cilindro. Vamos escolher os seguintes valores para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro interno da tubulação: tau(R) = De m (portanto, raio F' = tau(R) cdot 2 pi R = 5 cdot 2 pi cdot 0,05 = 5 cdot 0,314 = 1,57 N/m m)
  • Viscosidade do fluido: Pa·s (como a água a temperatura ambiente)
  • Variação de pressão: Pa
  • Comprimento da tubulação: m
Queremos calcular a força por unidade de comprimento na parede interna, ou seja, a força por metro . A tensão de cisalhamento na parede ( ) é:
A força por unidade de comprimento é dada pela tensão de cisalhamento multiplicada pelo perímetro da tubulação:

Resposta

A força exercida pelo fluido sobre a parede interna do cilindro é de 1,57 N/m.

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(Seager, Geertson e Giddings, J. Chem. Eng. Data, 8, 168, 1963).
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