Proponha um campo de velocidade bidimensional e transiente (diferente do campo de velocidade escolhido na atividade referente ao capítulo 2) e encontre as equações gerais para a trajetória, para a linha de corrente e para a linha de emissão (não é necessário plotar os gráficos, apresentar apenas as equações).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente propor um campo de velocidade bidimensional e transiente, diferente do que foi usado na atividade do capítulo 2. Depois, precisamos encontrar as equações gerais para a trajetória, para a linha de corrente e para a linha de emissão desse campo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos de velocidade em fluxo de fluidos, e como calcular trajetórias e diferentes tipos de linhas que descrevem o movimento das partículas no fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um campo de velocidade bidimensional e transiente. Um campo transiente é aquele que varia com o tempo. Vamos escolher um campo simples para facilitar os cálculos, mas que ainda seja diferente do que foi usado no capítulo 2.
Vamos definir o campo de velocidade v(x,y,t) = ( A e^-kt y, A e^-kt x ) como:
Onde:
  • e são constantes positivas.
  • e são as coordenadas espaciais.
  • é o tempo.
Esse campo representa um fluxo que diminui exponencialmente com o tempo devido ao termo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da trajetória. A trajetória de uma partícula no fluido é a curva que a partícula segue ao longo do tempo. Para encontrar isso, precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
As equações de movimento são:
dxdt = u(x,y,t) = A e^-kt y
dydt = v(x,y,t) = A e^-kt x

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
dxdt = A e^-kt y
Mas precisamos relacionar d^2ydt^2 = A e^-kt dxdt - k A e^-kt x com d^2ydt^2 = A e^-kt (A e^-kt y) - k A e^-kt x = A^2 e^-2kt y - k A e^-kt x ou dy/dtdx/dt = vu = A e^-kt xA e^-kt y = xy para integrar. Vamos observar a simetria do campo e considerar que dydx = xy para simplificar, mas na verdade, para esse campo, podemos notar que as soluções serão circulares. Porém, para generalizar, podemos proceder da seguinte forma:
Derivando a segunda equação em relação ao tempo:
Substituindo da primeira equação:
Mas isso parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Podemos tentar encontrar uma relação entre e diretamente.
Dividindo as duas equações:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para y dy = x dx em função de 12 y^2 = 12 x^2 + C :
y^2 - x^2 = C
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Simplificando:
Essa é a equação geral da trajetória das partículas no fluxo.

Passo 6

Vamos agora encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são curvas que são instantaneamente tangentes ao campo de velocidade em cada ponto. Para encontrá-las, usamos a relação:
dydx = v(x,y,t)u(x,y,t) = A e^-kt xA e^-kt y = xy
Assim, a equação diferencial para a linha de corrente é a mesma que a da trajetória:
dydx = xy
Seguindo os mesmos passos de integração:
y^2 - x^2 = C
Portanto, a equação geral da linha de corrente é .

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a equação da linha de emissão. As linhas de emissão, ou linhas de emissão (também conhecidas como linhas de emissão ou linhas de emissão), são semelhantes às trajetórias, mas começam a ser emitidas a partir de um determinado instante y^2 - x^2 = C .
No nosso caso, como o campo é transiente, a linha de emissão pode ser representada pela trajetória das partículas que começam a se mover a partir de .
Usando a equação da trajetória que já encontramos:
Onde agora representa a condição inicial de emissão das partículas. Assim, a equação geral da linha de emissão também é .

Resposta

As equações gerais para o campo de velocidade proposto são:
  • Trajetória:
  • Linha de Corrente:
  • Linha de Emissão:
Onde é uma constante que depende das condições iniciais de cada caso.

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