Proponha um campo de velocidade bidimensional e transiente (diferente do campo de velocidade escolhido na atividade referente ao capítulo 2) e encontre as equações gerais para a trajetória, para a linha de corrente e para a linha de emissão (não é necessário plotar os gráficos, apresentar apenas as equações).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente propor um campo de velocidade bidimensional e transiente, diferente do que foi usado na atividade do capítulo 2. Depois, precisamos encontrar as equações gerais para a trajetória, para a linha de corrente e para a linha de emissão desse campo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos de velocidade em fluxo de fluidos, e como calcular trajetórias e diferentes tipos de linhas que descrevem o movimento das partículas no fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um campo de velocidade bidimensional e transiente. Um campo transiente é aquele que varia com o tempo. Vamos escolher um campo simples para facilitar os cálculos, mas que ainda seja diferente do que foi usado no capítulo 2.
Vamos definir o campo de velocidade
como:
Onde:
-
e são constantes positivas. -
e são as coordenadas espaciais. -
é o tempo.
Esse campo representa um fluxo que diminui exponencialmente com o tempo devido ao termo
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da trajetória. A trajetória de uma partícula no fluido é a curva que a partícula segue ao longo do tempo. Para encontrar isso, precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula.
As equações de movimento são:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação:
Mas precisamos relacionar
com
ou
para integrar. Vamos observar a simetria do campo e considerar que
para simplificar, mas na verdade, para esse campo, podemos notar que as soluções serão circulares. Porém, para generalizar, podemos proceder da seguinte forma:
Derivando a segunda equação em relação ao tempo:
Substituindo
da primeira equação:
Mas isso parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Podemos tentar encontrar uma relação entre
e
diretamente.
Dividindo as duas equações:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
em função de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Simplificando:
Essa é a equação geral da trajetória das partículas no fluxo.
Passo 6
Vamos agora encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são curvas que são instantaneamente tangentes ao campo de velocidade em cada ponto. Para encontrá-las, usamos a relação:
Assim, a equação diferencial para a linha de corrente é a mesma que a da trajetória:
Seguindo os mesmos passos de integração:
Portanto, a equação geral da linha de corrente é
.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a equação da linha de emissão. As linhas de emissão, ou linhas de emissão (também conhecidas como linhas de emissão ou linhas de emissão), são semelhantes às trajetórias, mas começam a ser emitidas a partir de um determinado instante
.
No nosso caso, como o campo é transiente, a linha de emissão pode ser representada pela trajetória das partículas que começam a se mover a partir de
.
Usando a equação da trajetória que já encontramos:
Onde
agora representa a condição inicial de emissão das partículas. Assim, a equação geral da linha de emissão também é
.
Resposta
As equações gerais para o campo de velocidade proposto são:
- Trajetória:
- Linha de Corrente:
- Linha de Emissão:
Onde
é uma constante que depende das condições iniciais de cada caso.