Um fluido com massa específica escoa em regime permanente entre duas placas infinitas, verticais e paralelas. A direção do escoamento é vertical e o sentido coincide com o do sentido negativo do eixo y. O escoamento é laminar, plenamente desenvolvido e o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma equação para a vazão do escoamento neste canal

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido com massa específica escoando de forma constante entre duas placas verticais e paralelas, que são infinitas em extensão. O escoamento é na direção vertical, para baixo (sentido negativo do eixo y), e ele é laminar e totalmente desenvolvido. Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Nosso objetivo é usar as equações de Navier-Stokes para encontrar uma equação que descreva a vazão desse escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento dos fluidos. Para um escoamento incompressível e estacionário, a equação de Navier-Stokes na direção y (a direção do escoamento) é:
Mas como estamos lidando com um escoamento estacionário (não muda com o tempo) e totalmente desenvolvido (as velocidades não variam na direção do escoamento), muitos termos se simplificam.

Passo 3

Como o escoamento é totalmente desenvolvido e em regime permanente, temos:
  • (não muda com o tempo)
  • (não há componentes de velocidade nas direções x e z)
  • (a velocidade não varia na direção do escoamento)
  • (a velocidade só varia na direção perpendicular às placas, que vamos chamar de x)
Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo: .
Então, a equação de Navier-Stokes simplifica para:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade em função da posição entre as placas.
A equação é:
Integrando uma vez, temos:
Integrando novamente:
Aqui, e são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno são que as velocidades nas placas são zero (condição de não deslizamento).
Suponha que as placas estejam localizadas em e .
Então:
  • Em :
  • Em :
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Então, a velocidade é:
Isso sugere que, com , não há movimento do fluido, ou seja, a vazão é zero.

Passo 6

No entanto, isso não faz sentido fisicamente, já que a questão nos pede para encontrar uma expressão para a vazão. Vamos reconsiderar as condições dadas. Talvez haja uma força externa impulsionando o escoamento, já que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Isso significa que o escoamento é devido a uma força viscosidade.
Vamos reescrever a equação considerando que a única força atuante é a viscosidade.
A equação simplificada de Navier-Stokes para escoamento laminar entre placas paralelas sem gradiente de pressão é:
A solução geral, como vimos, é uma velocidade constante, mas isso implica fluxo sem variação de velocidade, o que sugere uniformidade e possibilidade de vazão.

Passo 7

Assumindo que há um gradiente de pressão na direção perpendicular às placas, e não na direção do fluxo, podemos reconsiderar. Mas a questão afirmou que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Talvez a direção x seja perpendicular às placas.
Vamos definir claramente as coordenadas:
  • y: direção do escoamento (vertical)
  • x: direção perpendicular às placas
Então, se o gradiente de pressão na direção y é nulo, mas pode haver pressão variando na direção x, que impulsiona o fluxo.
Redefinindo a equação de Navier-Stokes na direção y:
Como , e , a equação ainda é:
Portanto, é constante, sugerindo que a vazão depende da largura infinita das placas.

Passo 8

Para encontrar a vazão, consideramos a velocidade constante , onde é a velocidade uniforme do escoamento.
A vazão é a velocidade multiplicada pela área de passagem. Como as placas são infinitas, a vazão por unidade de largura pode ser representada como:
Onde tende ao infinito, indicando uma vazão infinita, o que não é físico. Portanto, deve haver alguma força impulsionadora não considerada.
É provável que a questão tenha um erro ou que precise de mais informações sobre a força que impulsiona o escoamento.

Resposta

Com as condições fornecidas, a vazão do escoamento entre as placas é nula, ou seja, .

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