Um fluido com massa específica
escoa em regime permanente entre duas placas infinitas, verticais e paralelas. A direção do escoamento é vertical e o sentido coincide com o do sentido negativo do eixo y. O escoamento é laminar, plenamente desenvolvido e o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma equação para a vazão do escoamento neste canal
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido com massa específica
escoando de forma constante entre duas placas verticais e paralelas, que são infinitas em extensão. O escoamento é na direção vertical, para baixo (sentido negativo do eixo y), e ele é laminar e totalmente desenvolvido. Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Nosso objetivo é usar as equações de Navier-Stokes para encontrar uma equação que descreva a vazão desse escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento dos fluidos. Para um escoamento incompressível e estacionário, a equação de Navier-Stokes na direção y (a direção do escoamento) é:
Mas como estamos lidando com um escoamento estacionário (não muda com o tempo) e totalmente desenvolvido (as velocidades não variam na direção do escoamento), muitos termos se simplificam.
Passo 3
Como o escoamento é totalmente desenvolvido e em regime permanente, temos:
-
(não muda com o tempo) -
(não há componentes de velocidade nas direções x e z) -
(a velocidade não varia na direção do escoamento) -
(a velocidade só varia na direção perpendicular às placas, que vamos chamar de x)
Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo:
.
Então, a equação de Navier-Stokes simplifica para:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade
em função da posição
entre as placas.
A equação é:
Integrando uma vez, temos:
Integrando novamente:
Aqui,
e
são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
As condições de contorno são que as velocidades nas placas são zero (condição de não deslizamento).
Suponha que as placas estejam localizadas em
e
.
Então:
- Em
: - Em
:
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Então, a velocidade
é:
Isso sugere que, com
, não há movimento do fluido, ou seja, a vazão é zero.
Passo 6
No entanto, isso não faz sentido fisicamente, já que a questão nos pede para encontrar uma expressão para a vazão. Vamos reconsiderar as condições dadas. Talvez haja uma força externa impulsionando o escoamento, já que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Isso significa que o escoamento é devido a uma força viscosidade.
Vamos reescrever a equação considerando que a única força atuante é a viscosidade.
A equação simplificada de Navier-Stokes para escoamento laminar entre placas paralelas sem gradiente de pressão é:
A solução geral, como vimos, é uma velocidade constante, mas isso implica fluxo sem variação de velocidade, o que sugere uniformidade e possibilidade de vazão.
Passo 7
Assumindo que há um gradiente de pressão na direção perpendicular às placas, e não na direção do fluxo, podemos reconsiderar. Mas a questão afirmou que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Talvez a direção x seja perpendicular às placas.
Vamos definir claramente as coordenadas:
- y: direção do escoamento (vertical)
- x: direção perpendicular às placas
Então, se o gradiente de pressão na direção y é nulo, mas pode haver pressão variando na direção x, que impulsiona o fluxo.
Redefinindo a equação de Navier-Stokes na direção y:
Como
, e
, a equação ainda é:
Portanto,
é constante, sugerindo que a vazão depende da largura infinita das placas.
Passo 8
Para encontrar a vazão, consideramos a velocidade constante
, onde
é a velocidade uniforme do escoamento.
A vazão
é a velocidade multiplicada pela área de passagem. Como as placas são infinitas, a vazão por unidade de largura pode ser representada como:
Onde
tende ao infinito, indicando uma vazão infinita, o que não é físico. Portanto, deve haver alguma força impulsionadora não considerada.
É provável que a questão tenha um erro ou que precise de mais informações sobre a força que impulsiona o escoamento.
Resposta
Com as condições fornecidas, a vazão do escoamento entre as placas é nula, ou seja,
.
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.