Um fluido com massa específica rho escoa em regime permanente entre duas placas infinitas, verticais e paralelas. A direção do escoamento é vertical e o sentido coincide com o do sentido negativo do eixo y. O escoamento é laminar, plenamente desenvolvido e o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma equação para a vazão do escoamento neste canal

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido com massa específica rho escoando de forma constante entre duas placas verticais e paralelas, que são infinitas em extensão. O escoamento é na direção vertical, para baixo (sentido negativo do eixo y), e ele é laminar e totalmente desenvolvido. Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo. Nosso objetivo é usar as equações de Navier-Stokes para encontrar uma equação que descreva a vazão desse escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento dos fluidos. Para um escoamento incompressível e estacionário, a equação de Navier-Stokes na direção y (a direção do escoamento) é:
rho ( partial vypartial t + vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z ) = -partial ppartial y + mu ( partial^2 vypartial x^2 + partial^2 vypartial y^2 + partial^2 vypartial z^2 )
Mas como estamos lidando com um escoamento estacionário (não muda com o tempo) e totalmente desenvolvido (as velocidades não variam na direção do escoamento), muitos termos se simplificam.

Passo 3

Como o escoamento é totalmente desenvolvido e em regime permanente, temos:
  • partial vypartial t = 0 (não muda com o tempo)
  • vx = vz = 0 (não há componentes de velocidade nas direções x e z)
  • partial vypartial y = 0 (a velocidade não varia na direção do escoamento)
  • partial vypartial x = partial vypartial z = 0 (a velocidade só varia na direção perpendicular às placas, que vamos chamar de x)
Além disso, o gradiente de pressão na direção do escoamento é nulo: partial ppartial y = 0.
Então, a equação de Navier-Stokes simplifica para:
0 = -0 + mu ( partial^2 vypartial x^2 )
Ou seja:
mu partial^2 vypartial x^2 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade vy em função da posição x entre as placas.
A equação é:
partial^2 vypartial x^2 = 0
Integrando uma vez, temos:
partial vypartial x = C1
Integrando novamente:
vy = C1 x + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno são que as velocidades nas placas são zero (condição de não deslizamento).
Suponha que as placas estejam localizadas em x = 0 e x = h.
Então:
  • Em x = 0: vy(0) = 0
  • Em x = h: vy(h) = 0
Aplicando a primeira condição:
0 = C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 0
Aplicando a segunda condição:
0 = C1 h + 0 Rightarrow C1 = 0
Então, a velocidade vy é:
vy = 0
Isso sugere que, com partial ppartial y = 0, não há movimento do fluido, ou seja, a vazão é zero.

Passo 6

No entanto, isso não faz sentido fisicamente, já que a questão nos pede para encontrar uma expressão para a vazão. Vamos reconsiderar as condições dadas. Talvez haja uma força externa impulsionando o escoamento, já que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Isso significa que o escoamento é devido a uma força viscosidade.
Vamos reescrever a equação considerando que a única força atuante é a viscosidade.
A equação simplificada de Navier-Stokes para escoamento laminar entre placas paralelas sem gradiente de pressão é:
0 = mu partial^2 vypartial x^2
A solução geral, como vimos, é uma velocidade constante, mas isso implica fluxo sem variação de velocidade, o que sugere uniformidade e possibilidade de vazão.

Passo 7

Assumindo que há um gradiente de pressão na direção perpendicular às placas, e não na direção do fluxo, podemos reconsiderar. Mas a questão afirmou que o gradiente de pressão na direção do fluxo é nulo. Talvez a direção x seja perpendicular às placas.
Vamos definir claramente as coordenadas:
  • y: direção do escoamento (vertical)
  • x: direção perpendicular às placas
Então, se o gradiente de pressão na direção y é nulo, mas pode haver pressão variando na direção x, que impulsiona o fluxo.
Redefinindo a equação de Navier-Stokes na direção y:
rho ( vx partial vypartial x ) = -partial ppartial y + mu partial^2 vypartial x^2
Como vx = 0, e partial ppartial y = 0, a equação ainda é:
mu partial^2 vypartial x^2 = 0
Portanto, vy é constante, sugerindo que a vazão depende da largura infinita das placas.

Passo 8

Para encontrar a vazão, consideramos a velocidade constante vy = V, onde V é a velocidade uniforme do escoamento.
A vazão Q é a velocidade multiplicada pela área de passagem. Como as placas são infinitas, a vazão por unidade de largura pode ser representada como:
Q = V cdot L
Onde L tende ao infinito, indicando uma vazão infinita, o que não é físico. Portanto, deve haver alguma força impulsionadora não considerada.
É provável que a questão tenha um erro ou que precise de mais informações sobre a força que impulsiona o escoamento.

Resposta

Com as condições fornecidas, a vazão do escoamento entre as placas é nula, ou seja, Q = 0.

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