Óleo SAE 30 ( ) escoa entre duas placas horizontais, paralelas e distanciadas de 5 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior apresenta velocidade horizontal igual a no sentido positivo do eixo . O gradiente de pressão no escoamento é igual (na direção x ). Calcule a velocidade média deste escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluxo de óleo SAE 30 entre duas placas paralelas horizontais separadas por 5 mm. A placa de baixo está parada, enquanto a de cima se move a 0,2 m/s na direção positiva do eixo x. Além disso, há um gradiente de pressão de -60 kPa/m na direção x. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente o escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar a equação de Navier-Stokes para fluxo em camada limite ou a equação de Poiseuille adaptada para este caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do fluxo entre placas paralelas pode ser influenciada tanto pelo movimento das placas quanto pelo gradiente de pressão aplicado. A equação geral para a velocidade em função da posição entre as placas é dada por:
Aqui, é a viscosidade do fluido e é o gradiente de pressão.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade . Integrando uma vez:
E integrando novamente:

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes de integração e . Sabemos que:
  1. Na placa inferior ( ), a velocidade é zero: .
  2. Na placa superior ( , onde m), a velocidade é m/s.
Aplicando a primeira condição:

Passo 5

Aplicando a segunda condição:
Sabemos que kPa/m N/m³ e N.s/m², substituindo:

Passo 6

Calculando os termos:
Então:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos m/s/m, a equação da velocidade fica:

Passo 8

Para encontrar a velocidade média , integramos de 0 a e dividimos por :

Passo 9

Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 0,005:

Passo 10

Agora, a velocidade média:

Resposta

A velocidade média do escoamento é aproximadamente 0,385 m/s.

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