Óleo SAE 30 ( mu=0,44 N s / m^2 ) escoa entre duas placas horizontais, paralelas e distanciadas de 5 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior apresenta velocidade horizontal igual a 0,2 m / s no sentido positivo do eixo x. O gradiente de pressão no escoamento é igual a-60 KPa / m (na direção x ). Calcule a velocidade média deste escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluxo de óleo SAE 30 entre duas placas paralelas horizontais separadas por 5 mm. A placa de baixo está parada, enquanto a de cima se move a 0,2 m/s na direção positiva do eixo x. Além disso, há um gradiente de pressão de -60 kPa/m na direção x. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente o escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar a equação de Navier-Stokes para fluxo em camada limite ou a equação de Poiseuille adaptada para este caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do fluxo entre placas paralelas pode ser influenciada tanto pelo movimento das placas quanto pelo gradiente de pressão aplicado. A equação geral para a velocidade d^2 udy^2 = 1mu dpdx em função da posição entre as placas é dada por:
Aqui, é a viscosidade do fluido e é o gradiente de pressão.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade dudy = 1mu dpdx y + C1 . Integrando uma vez:
u(y) = 12mu dpdx y^2 + C1 y + C2
E integrando novamente:

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes de integração 0 = 12mu dpdx (0)^2 + C1 (0) + C2 Rightarrow C2 = 0 e . Sabemos que:
  1. Na placa inferior ( ), a velocidade é zero: .
  2. Na placa superior ( , onde m), a velocidade é m/s.
Aplicando a primeira condição:

Passo 5

Aplicando a segunda condição:
0,2 = 12mu dpdx h^2 + C1 h
Sabemos que 0,2 = 12 times 0,44 (-60000) (0,005)^2 + C1 times 0,005 kPa/m N/m³ e N.s/m², substituindo:

Passo 6

Calculando os termos:
12 times 0,44 = 10,88 approx 1,136
(0,005)^2 = 0,000025
1,136 times (-60000) times 0,000025 approx -1,704
Então:
0,2 = -1,704 + 0,005 C1
Resolvendo para 0,005 C1 = 0,2 + 1,704 = 1,904 :
C1 = 1,9040,005 = 380,8

Passo 7

Agora que temos u(y) = 12 times 0,44 (-60000) y^2 + 380,8 y m/s/m, a equação da velocidade fica:
u(y) = -1,136 times 60000 y^2 + 380,8 y
u(y) = -68000 y^2 + 380,8 y

Passo 8

Para encontrar a velocidade média baru = 1h integral0^h u(y) , dy , integramos baru = 10,005 [ integral0^0,005 (-68000 y^2 + 380,8 y) , dy ] de 0 a e dividimos por :

Passo 9

Calculando a integral:
integral (-68000 y^2 + 380,8 y) , dy = -68000 y^33 + 380,8 y^22
= -22666,67 y^3 + 190,4 y^2
Avaliado de 0 a 0,005:
-22666,67 (0,005)^3 + 190,4 (0,005)^2 - 0 = -22666,67 times 1,25 times 10^-7 + 190,4 times 2,5 times 10^-5
= -0,002833333 + 0,00476 = 0,001926667

Passo 10

Agora, a velocidade média:
baru = 10,005 times 0,001926667 = 0,3853334 , m/s

Resposta

A velocidade média do escoamento é aproximadamente 0,385 m/s.

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