Óleo SAE 30 (
) escoa entre duas placas horizontais, paralelas e distanciadas de 5 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior apresenta velocidade horizontal igual a
no sentido positivo do eixo
. O gradiente de pressão no escoamento é igual
(na direção x ). Calcule a velocidade média deste escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluxo de óleo SAE 30 entre duas placas paralelas horizontais separadas por 5 mm. A placa de baixo está parada, enquanto a de cima se move a 0,2 m/s na direção positiva do eixo x. Além disso, há um gradiente de pressão de -60 kPa/m na direção x. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente o escoamento laminar entre placas paralelas. Vamos precisar usar a equação de Navier-Stokes para fluxo em camada limite ou a equação de Poiseuille adaptada para este caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do fluxo entre placas paralelas pode ser influenciada tanto pelo movimento das placas quanto pelo gradiente de pressão aplicado. A equação geral para a velocidade
em função da posição
entre as placas é dada por:
Aqui,
é a viscosidade do fluido e
é o gradiente de pressão.
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade
. Integrando uma vez:
E integrando novamente:
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes de integração
e
. Sabemos que:
- Na placa inferior (
), a velocidade é zero: . - Na placa superior (
, onde m), a velocidade é m/s.
Aplicando a primeira condição:
Passo 5
Aplicando a segunda condição:
Sabemos que
kPa/m
N/m³ e
N.s/m², substituindo:
Passo 6
Calculando os termos:
Então:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
m/s/m, a equação da velocidade fica:
Passo 8
Para encontrar a velocidade média
, integramos
de 0 a
e dividimos por
:
Passo 9
Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 0,005:
Passo 10
Agora, a velocidade média:
Resposta
A velocidade média do escoamento é aproximadamente 0,385 m/s.