Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dP/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se ?
Resposta: a) b)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre o escoamento de um fluido viscoso e incompressível entre duas placas planas verticais. O desafio é resolver usando as equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento de fluidos. Precisamos encontrar a expressão para o gradiente de pressão na direção do escoamento e também determinar a vazão quando esse gradiente for zero. Vamos precisar entender conceitos como escoamento laminar, viscosidade, e as próprias equações de Navier-Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento laminar, estacionário (permanente) e uniforme entre placas paralelas, as equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas bastante. Nesse caso, a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular às placas (vamos chamar de ) e é constante ao longo da direção do escoamento.
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas para esse caso reduzem-se à seguinte forma:
Aqui, é o gradiente de pressão na direção do escoamento ( ), é a viscosidade do fluido, e é a velocidade no escoamento.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para . Primeiro, reescrevemos a equação:
Integrando uma vez em relação a :
Integrando novamente:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas, a velocidade do fluido é zero (condição de não deslizamento). Se considerarmos as placas separadas por uma distância , então em , .
Aplicando em :
E em :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Então, voltando para uma das equações:

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão de :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar a vazão por unidade de largura ( ), integramos a velocidade sobre a distância entre as placas:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 7

Agora, para a parte b), se , podemos usar a expressão que encontramos:
Isso implica que:
Mas parece haver uma inconsistência com a resposta fornecida. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 8

Reavaliando o passo 6, percebemos que houve um erro na integração. A expressão correta para deveria considerar a simetria do escoamento:
Então,

Resposta

a)
b) Se , então

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