Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dP/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se dP / dy=0 ?
Resposta: a) dP / dy=-[gamma+(3 q mu / 2 h 3)] ; b) q=-2 h 3 gamma /(3 mu)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício sobre o escoamento de um fluido viscoso e incompressível entre duas placas planas verticais. O desafio é resolver usando as equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento de fluidos. Precisamos encontrar a expressão para o gradiente de pressão na direção do escoamento e também determinar a vazão quando esse gradiente for zero. Vamos precisar entender conceitos como escoamento laminar, viscosidade, e as próprias equações de Navier-Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento laminar, estacionário (permanente) e uniforme entre placas paralelas, as equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas bastante. Nesse caso, a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular às placas (vamos chamar de 0 = -dPdx + mu d^2 Vdy^2 ) e é constante ao longo da direção do escoamento.
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas para esse caso reduzem-se à seguinte forma:
Aqui, é o gradiente de pressão na direção do escoamento ( ), é a viscosidade do fluido, e é a velocidade no escoamento.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para mu d^2 Vdy^2 = dPdx . Primeiro, reescrevemos a equação:
mu dVdy = dPdx y + C1
Integrando uma vez em relação a mu V = dPdx y^22 + C1 y + C2 :
Integrando novamente:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas, a velocidade do fluido é zero (condição de não deslizamento). Se considerarmos as placas separadas por uma distância 0 = dPdx h^28 + C1 h2 + C2 , então em 0 = dPdx h^28 - C1 h2 + C2 , 0 = C1 h implies C1 = 0 .
Aplicando 0 = dPdx h^28 + C2 implies C2 = -dPdx h^28 em :
E em :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Então, voltando para uma das equações:

Passo 5

Agora, substituímos mu V = dPdx y^22 - dPdx h^28 e V = dPdx ( y^22mu - h^28mu ) na expressão de :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar a vazão por unidade de largura ( q = integral-h2^h2 V , dy = dPdx integral-h2^h2 ( y^22mu - h^28mu ) dy ), integramos a velocidade sobre a distância entre as placas:
q = dPdx ( 12mu cdot h^312 - h^28mu cdot h ) = dPdx ( h^324mu - h^38mu ) = dPdx ( -h^312mu )
Calculando a integral:
dPdx = -12 mu qh^3
Portanto:

Passo 7

Agora, para a parte b), se 0 = -12 mu qh^3 , podemos usar a expressão que encontramos:
q = 0
Isso implica que:
Mas parece haver uma inconsistência com a resposta fornecida. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 8

Reavaliando o passo 6, percebemos que houve um erro na integração. A expressão correta para q = integral-h2^h2 V , dy = integral-h2^h2 dPdx ( y^22mu - h^28mu ) dy = dPdx ( h^324mu - h^316mu ) = -h^348mu dPdx deveria considerar a simetria do escoamento:
dPdx = -48 mu qh^3
Então,

Resposta

a)
b) Se , então

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