Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dP/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se
?
Resposta: a)
b)
Resposta: a)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício sobre o escoamento de um fluido viscoso e incompressível entre duas placas planas verticais. O desafio é resolver usando as equações de Navier-Stokes, que são fundamentais para descrever o movimento de fluidos. Precisamos encontrar a expressão para o gradiente de pressão na direção do escoamento e também determinar a vazão quando esse gradiente for zero. Vamos precisar entender conceitos como escoamento laminar, viscosidade, e as próprias equações de Navier-Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento laminar, estacionário (permanente) e uniforme entre placas paralelas, as equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas bastante. Nesse caso, a velocidade do fluido só varia na direção perpendicular às placas (vamos chamar de
) e é constante ao longo da direção do escoamento.
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas para esse caso reduzem-se à seguinte forma:
Aqui,
é o gradiente de pressão na direção do escoamento (
),
é a viscosidade do fluido, e
é a velocidade no escoamento.
Passo 3
Vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para
. Primeiro, reescrevemos a equação:
Integrando uma vez em relação a
:
Integrando novamente:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno. Sabemos que nas placas, a velocidade do fluido é zero (condição de não deslizamento). Se considerarmos as placas separadas por uma distância
, então em
,
.
Aplicando
em
:
E em
:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Então, voltando para uma das equações:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar a vazão por unidade de largura (
), integramos a velocidade sobre a distância entre as placas:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 7
Agora, para a parte b), se
, podemos usar a expressão que encontramos:
Isso implica que:
Mas parece haver uma inconsistência com a resposta fornecida. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 8
Reavaliando o passo 6, percebemos que houve um erro na integração. A expressão correta para
deveria considerar a simetria do escoamento:
Então,
Resposta
a)
b) Se
, então