Uma grande empresa mineradora precisa transportar óleo combustível de um setor para outro, mantendo a temperatura do óleo a 40^circ C. A temperatura média do solo é de 20^circ C. O duto possui 40 cm de diâmetro e 200 m de comprimento. Para trabalhar no regime estacionário o engenheiro da empresa resolveu enterrar o duto no solo a certa profundidade x . O engenheiro sabe que a potência de calor transferida por unidade de comprimento é de 31,4 W / m. Determine a profundidade x que se deve enterrar o duto. Dados: o coeficiente térmico do solo é de 0,5W/m.K e o do óleo é ede 0,3W/m.K.

Passo 1

Vamos entender o problema: uma empresa mineradora quer transportar óleo combustível através de um duto enterrado no solo, mantendo a temperatura do óleo em . A temperatura do solo é de . Precisamos descobrir a profundidade em que o duto deve ser enterrado para que a transferência de calor seja adequada, garantindo que a temperatura do óleo permaneça constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Diâmetro do duto: 40 cm raio cm = 0,2 m
  • Comprimento do duto: 200 m
  • Potência de calor transferida por unidade de comprimento:
  • Condutividade térmica do solo:
  • Condutividade térmica do óleo:
  • Temperatura do óleo: ó
  • Temperatura do solo:

Passo 3

Vamos considerar que o calor é transferido por condução radial do duto para o solo. A equação geral para a transferência de calor por condução em coordenadas cilíndricas é:
QL = 2 pi k (Tó<=o - Tsolo)ln ( r2r1 ) ó
Onde:
  • é a potência por unidade de comprimento
  • é a condutividade térmica do solo
  • é o raio do duto
  • é o raio externo, que será (profundidade onde o solo atinge a temperatura ambiente)

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para resolver ln ( r2r1 ) = 2 pi k (Tó<=o - Tsolo)QL :
ln ( r1 + xr1 ) = 2 pi k (40 - 20)31,4 ó
Sabendo que :

Passo 5

Vamos calcular o lado direito da equação:
2 pi times 0,5 times 2031,4 = 20 pi31,4 approx 62,83231,4 approx 2
Então:
ln ( 0,2 + x0,2 ) = 2

Passo 6

Para resolver para 0,2 + x0,2 = e^2 , vamos exponentiar ambos os lados da equação:
0,2 + x = 0,2 times e^2
x = 0,2 times e^2 - 0,2

Passo 7

Calculando os valores:
e^2 approx 7,389
x = 0,2 times 7,389 - 0,2 = 1,4778 - 0,2 = 1,2778 , m

Resposta

A profundidade que o duto deve ser enterrado é de aproximadamente 1,28 metros.

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