Fluidos com viscosidades mu1=0,1 N cdot s / m^2 e mu2=0,15 N cdot s / m^2 estão contidos entre duas placas (cada placa tem área de 1 m^2 ). As espessuras são h1=0,5 mm e h2=0,3 mm, respectivamente. Determine a força F para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de 1 m / s. Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois fluidos com viscosidades diferentes ( ² e ²) entre duas placas de área de ². As espessuras dos fluidos são e . Precisamos determinar a força para mover a placa superior a uma velocidade de e descobrir a velocidade na interface entre os dois fluidos. Vamos usar conceitos de viscosidade e fluxo laminar para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as espessuras de milímetros para metros:
h1 = 0,5 , mm = 0,0005 , m
h2 = 0,3 , mm = 0,0003 , m
Isso facilita os cálculos futuros.

Passo 3

O fluxo entre placas paralelas com viscosidade constante é descrito pela equação de fluxo laminar:
tau = mu dudy
Onde é a tensão de cisalhamento, é a viscosidade, e é o gradiente de velocidade.

Passo 4

Como as placas têm área F = tau cdot A ², a força necessária para mover a placa superior está relacionada à tensão de cisalhamento pela fórmula:
Precisamos encontrar , a tensão de cisalhamento.

Passo 5

Entre as duas camadas de fluido, a velocidade deve ser contínua, então a velocidade na interface ( u1 = uinterface = u2 ) deve ser a mesma para ambos os fluidos. Vamos chamar a velocidade do fluido 1 (menor viscosidade) de e do fluido 2 de .
Como a placa superior se move a , temos:

Passo 6

A tensão de cisalhamento deve ser a mesma nas duas camadas:
tau = mu1 du1dy = mu2 du2dy
Como mu1 uinterfaceh1 = mu2 1 - uinterfaceh2 e , substituímos:

Passo 7

Vamos resolver para 0,1 cdot uinterface0,0005 = 0,15 cdot 1 - uinterface0,0003 :
200 uinterface = 500 (1 - uinterface)
Simplificando:
200 uinterface + 500 uinterface = 500
700 uinterface = 500
uinterface = 500700 approx 0,714 , m/s

Passo 8

Agora que temos tau = 0,1 cdot 0,7140,0005 = 0,1 cdot 1428 = 142,8 , Pa , podemos encontrar a tensão de cisalhamento usando a primeira camada:

Passo 9

Finalmente, calculamos a força F = tau cdot A = 142,8 , Pa cdot 1 , m² = 142,8 , N :
²

Resposta

A força necessária para mover a placa superior é de aproximadamente e a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos é de cerca de .

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