Fluidos com viscosidades
e
estão contidos entre duas placas (cada placa tem área de
). As espessuras são
e
, respectivamente. Determine a força
para fazer com que a placa superior se mova a uma velocidade de
. Qual é a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois fluidos com viscosidades diferentes (
e
) entre duas placas de área de
. As espessuras dos fluidos são
e
. Precisamos determinar a força
para mover a placa superior a uma velocidade de
e descobrir a velocidade na interface entre os dois fluidos. Vamos usar conceitos de viscosidade e fluxo laminar para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as espessuras de milímetros para metros:
Isso facilita os cálculos futuros.
Passo 3
O fluxo entre placas paralelas com viscosidade constante é descrito pela equação de fluxo laminar:
Onde
é a tensão de cisalhamento,
é a viscosidade, e
é o gradiente de velocidade.
Passo 4
Como as placas têm área
, a força
necessária para mover a placa superior está relacionada à tensão de cisalhamento pela fórmula:
Precisamos encontrar
, a tensão de cisalhamento.
Passo 5
Entre as duas camadas de fluido, a velocidade deve ser contínua, então a velocidade na interface (
) deve ser a mesma para ambos os fluidos. Vamos chamar a velocidade do fluido 1 (menor viscosidade) de
e do fluido 2 de
.
Como a placa superior se move a
, temos:
Passo 6
A tensão de cisalhamento deve ser a mesma nas duas camadas:
Como
e
, substituímos:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar a tensão de cisalhamento usando a primeira camada:
Passo 9
Finalmente, calculamos a força
:
Resposta
A força necessária para mover a placa superior é de aproximadamente
e a velocidade do fluido na interface entre os dois fluidos é de cerca de
.