Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. (3, pi2, 3 pi4),

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as coordenadas esféricas de um ponto, que são (3, pi2, 3 pi4). Precisamos encontrar as coordenadas retangulares desse ponto. As coordenadas esféricas são compostas por três valores: r (a distância da origem), theta (o ângulo azimutal) e phi (o ângulo polar). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas que transformam coordenadas esféricas em coordenadas retangulares.

Passo 2

As fórmulas que vamos usar para converter coordenadas esféricas (r, theta, phi) em coordenadas retangulares (x, y, z) são:
  • x = r cdot sin(phi) cdot cos(theta)
  • y = r cdot sin(phi) cdot sin(theta)
  • z = r cdot cos(phi)
No nosso caso, temos:
  • r = 3
  • theta = pi2
  • phi = 3pi4
Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular x primeiro:
x = 3 cdot sin(3pi4) cdot cos(pi2)
Sabemos que sin(3pi4) = raiz22 e cos(pi2) = 0. Substituindo esses valores:
x = 3 cdot raiz22 cdot 0 = 0
Agora vamos calcular y:
y = 3 cdot sin(3pi4) cdot sin(pi2)
Aqui, usamos novamente que sin(3pi4) = raiz22 e sin(pi2) = 1:
y = 3 cdot raiz22 cdot 1 = 3raiz22
Por fim, vamos calcular z:
z = 3 cdot cos(3pi4)
Sabemos que cos(3pi4) = -raiz22, então:
z = 3 cdot -raiz22 = -3raiz22

Resposta

As coordenadas retangulares do ponto são (0, 3raiz22, -3raiz22).

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