O fluxo de calor na superfície externa do tubo. W /(m ^circ C), com diâmetro 8 cm e altura 15 cm , está inicialmente a uma temperatura uniforme igual a 150^circ C. O cilindro é colocado no ar atmosférico a 20^circ C, onde ocorre transferência de calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h= 40 W /(m^2 ^circ C). Utilizando o método da capacidade concentrada determine a temperatura após 15 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um tubo cilíndrico com diâmetro de 8 cm e altura de 15 cm, inicialmente a uma temperatura de 150 °C. Esse tubo é colocado no ar atmosférico, que está a 20 °C, e a transferência de calor ocorre por convecção com um coeficiente de transferência de calor . Queremos descobrir qual será a temperatura do tubo após 15 minutos usando o método da capacidade concentrada. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de calor por convecção e aplicar a equação adequada do método da capacidade concentrada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos usar o método da capacidade concentrada, também conhecido como método de lumped capacitance. Esse método é válido quando o número de Biot ( Bi = h Lck ) é menor que 0,1. O número de Biot é dado por:
Lc = VAs
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é o comprimento característico,
  • é a condutividade térmica do material do tubo.
Vamos precisar do valor de para prosseguir. Como o problema não fornece, vamos supor que seja de um material comum, por exemplo, aço com .
Primeiro, calculamos o comprimento característico para um cilindro:
Onde é o volume e é a área superficial.

Passo 3

Vamos calcular o volume V = pi r^2 h e a área superficial V = pi (0,04)^2 times 0,15 approx 7,54 times 10^-4 m^3 do cilindro.
O volume de um cilindro é dado por:
As = 2pi r (r + h)
Convertendo o diâmetro para raio: As = 2pi times 0,04 times (0,04 + 0,15) approx 0,0377 m^2
A altura
Então,
A área superficial de um cilindro (incluindo as duas bases) é:

Passo 4

Agora, calculamos o comprimento característico Lc = VAs = 7,54 times 10^-40,0377 approx 0,02 m :
= 2 cm.

Passo 5

Com o Bi = h Lck = 40 times 0,0250 = 0,016 calculado, agora podemos determinar o número de Biot:
Como , podemos usar o método da capacidade concentrada.

Passo 6

O método da capacidade concentrada utiliza a seguinte equação para a variação da temperatura ao longo do tempo:
T(t) - TinftyTi - Tinfty = e^-h Asrho V cp t
onde:
  • é a temperatura no tempo ,
  • é a temperatura ambiente,
  • é a temperatura inicial,
  • é a densidade do material,
  • é o calor específico,
  • é a área superficial,
  • é o volume,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é o tempo.
Precisamos dos valores de e . Supondo que o tubo seja de aço, temos aproximadamente:

Passo 7

Vamos substituir os valores na equação:
T(t) - 20150 - 20 = e^-40 times 0,03777850 times 7,54 times 10^-4 times 500 times 900
Aqui, .

Passo 8

Calculemos o expoente:
40 times 0,03777850 times 7,54 times 10^-4 times 500 times 900 approx 1,5082.960 times 900 approx 0,51 times 900 approx 459
Então,
T(t) - 20130 = e^-459 approx 0

Resposta

Após 15 minutos, a temperatura do tubo é aproximadamente .

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