Um tanque cilíndrico de diâmetro D=150 mm, possui o esgoto por uma abertura de diâmetro d=5 mm , em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente V=raiz2 g y, em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a y0=0,9 m, determine a profundidade da água em t=60 s, t=120 s e t=180 s. Trace o gráfico de y (m) em função de t para os primeiros 180 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com um diâmetro de 150 mm e uma abertura de esgoto no fundo com diâmetro de 5 mm. A velocidade da água saindo do tanque é dada por , onde é a altura da água no tanque. Nosso objetivo é descobrir qual será a profundidade da água após 60, 120 e 180 segundos, e também fazer um gráfico dessa profundidade em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros para metros para facilitar os cálculos:
D = 150 mm = 0,15 m
d = 5 mm = 0,005 m

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as áreas da seção transversal do tanque ( A = pi D^24 = pi (0,15)^24 approx 0,0177 m^2 ) e da abertura de esgoto ( a = pi d^24 = pi (0,005)^24 approx 1,9635 times 10^-5 m^2 ):

Passo 4

A velocidade de saída da água é dada por Q = aV = araiz2gy , onde . A taxa de fluxo volumétrico ( ) é:

Passo 5

O volume de água no tanque é dVtdt = A dydt = -Q = -araiz2gy . A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 6

Rearranjando a equação para separar as variáveis dyraizy = -araiz2gA dt e :

Passo 7

Integrando ambos os lados. Supondo que no tempo integraly0^y dyraizy = -araiz2gA integral0^t dt , a altura 2(raizy - raizy0) = -araiz2gA t m:

Passo 8

Isolando raizy = raizy0 - araiz2g2A t :
y = ( raizy0 - araiz2g2A t )^2
Elevando ao quadrado para encontrar :

Passo 9

Agora, substituindo os valores numéricos:
araiz2g2A = 1,9635 times 10^-5 times raiz2 times 9,812 times 0,0177 approx 1,9635 times 10^-5 times 4,430,0354 approx 2,45 times 10^-3 s^-1
Portanto:
y = ( raiz0,9 - 2,45 times 10^-3 t )^2
y = ( 0,9487 - 0,00245 t )^2

Passo 10

Agora, vamos calcular y = (0,9487 - 0,00245 times 60)^2 = (0,9487 - 0,147) = 0,8017 m para y = (0,9487 - 0,00245 times 120)^2 = (0,9487 - 0,294) = 0,6547 m :
y = (0,9487 - 0,00245 times 180)^2 = (0,9487 - 0,441) = 0,5077 m
Para :
Para :

Resposta

Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Para visualizar a variação da profundidade da água ao longo dos primeiros 180 segundos, você pode plotar os valores de em função de usando um software de gráficos como o Excel ou o matplotlib no Python.

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