Um tanque cilíndrico de diâmetro , possui o esgoto por uma abertura de diâmetro mm , em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente , em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a , determine a profundidade da água em e . Trace o gráfico de y (m) em função de t para os primeiros 180 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com um diâmetro de 150 mm e uma abertura de esgoto no fundo com diâmetro de 5 mm. A velocidade da água saindo do tanque é dada por , onde é a altura da água no tanque. Nosso objetivo é descobrir qual será a profundidade da água após 60, 120 e 180 segundos, e também fazer um gráfico dessa profundidade em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros para metros para facilitar os cálculos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as áreas da seção transversal do tanque ( ) e da abertura de esgoto ( ):

Passo 4

A velocidade de saída da água é dada por , onde . A taxa de fluxo volumétrico ( ) é:

Passo 5

O volume de água no tanque é . A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 6

Rearranjando a equação para separar as variáveis e :

Passo 7

Integrando ambos os lados. Supondo que no tempo , a altura m:

Passo 8

Isolando :
Elevando ao quadrado para encontrar :

Passo 9

Agora, substituindo os valores numéricos:
Portanto:

Passo 10

Agora, vamos calcular para :
Para :
Para :

Resposta

Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Após , a profundidade da água é aproximadamente m.
Para visualizar a variação da profundidade da água ao longo dos primeiros 180 segundos, você pode plotar os valores de em função de usando um software de gráficos como o Excel ou o matplotlib no Python.

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