Um tanque cilíndrico de diâmetro
, possui o esgoto por uma abertura de diâmetro
mm , em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente
, em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a
, determine a profundidade da água em
e
. Trace o gráfico de y (m) em função de t para os primeiros 180 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico cheio de água com um diâmetro de 150 mm e uma abertura de esgoto no fundo com diâmetro de 5 mm. A velocidade da água saindo do tanque é dada por
, onde
é a altura da água no tanque. Nosso objetivo é descobrir qual será a profundidade da água após 60, 120 e 180 segundos, e também fazer um gráfico dessa profundidade em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os diâmetros para metros para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as áreas da seção transversal do tanque (
) e da abertura de esgoto (
):
Passo 4
A velocidade de saída da água é dada por
, onde
. A taxa de fluxo volumétrico (
) é:
Passo 5
O volume de água no tanque é
. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 6
Rearranjando a equação para separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados. Supondo que no tempo
, a altura
m:
Passo 8
Isolando
:
Elevando ao quadrado para encontrar
:
Passo 9
Agora, substituindo os valores numéricos:
Portanto:
Passo 10
Agora, vamos calcular
para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Após
, a profundidade da água é aproximadamente
m.
Após
, a profundidade da água é aproximadamente
m.
Após
, a profundidade da água é aproximadamente
m.
Para visualizar a variação da profundidade da água ao longo dos primeiros 180 segundos, você pode plotar os valores de
em função de
usando um software de gráficos como o Excel ou o matplotlib no Python.