Um foguete com 1,00 times 10^6 kg tem 1,00 times 10^3 kg de combustível a bordo. O foguete está parado no espaço quando de repente torna-se necessário acelerar. A ignição dos motores do foguete é feita e o combustível de 1,00 times 10^3 kg é consumido. O gás de escape (combustível gasto) é lançado durante um curto intervalo de tempo numa velocidade de 0,500 c em relação a S - o referencial inercial no qual o foguete está inicialmente em repouso.
a) Calcule a variação da massa do sistema foguete-combustível.

Passo 1

No enunciado, temos um foguete com massa total de kg e kg de combustível a bordo. O foguete está inicialmente em repouso no espaço. Quando o combustível é consumido, os gases de escape são lançados a uma velocidade de em relação ao referencial inicial . Precisamos calcular a variação da massa do sistema foguete-combustível. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de relatividade restrita, especialmente a relação entre massa e energia dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma = 1raiz1 - ( vc )^2 ), que nos ajuda a entender como a massa se comporta quando objetos se movem a velocidades próximas à da luz. A fórmula do fator de Lorentz é:
gamma = 1raiz1 - (0,500)^2 = 1raiz1 - 0,25 = 1raiz0,75 approx 1,1547
Onde:
  • (velocidade dos gases de escape)
  • é a velocidade da luz ( m/s)
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação da massa ( De) do sistema foguete-combustível. Quando o combustível é ejetado a uma velocidade De, a massa aparente do combustível aumenta devido ao movimento relativístico. A variação de massa é dada por:
í
Onde:
  • í kg
Substituindo os valores:

Resposta

A variação da massa do sistema foguete-combustível é de aproximadamente kg.

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