Um observador A^prime numa nave espacial que possui um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho. O observador A^prime está parado junto ao dispositivo emissor de sinais luminosos. A distância entre o dispositivo e o espelho é de 15 minutos-luz (escrevemos 15 c.min) e a nave espacial, em repouso no referencial S^prime, viaja com velocidade v=0,80 c em relação a uma plataforma espacial muito comprida, que está em repouso no referencial S. A plataforma possui dois relógios sincronizados, um relógio na posição x1, que é a posição da nave espacial quando o observador liga o dispositivo, emitindo um sinal luminoso, e o outro relógio está na posição x2, que é a posição da nave espacial quando a luz emitida pelo dispositivo retorna ao próprio dispositivo vinda do espelho.
Obtenha também:
© a distância percorrida pela nave espacial.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma nave espacial em movimento a uma velocidade de em relação a uma plataforma espacial. Dentro da nave, há um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho, separados por uma distância de 15 minutos-luz ( ). Quando o observador na nave emite um sinal de luz, ele viaja até o espelho e retorna. A plataforma possui dois relógios sincronizados para medir os eventos de emissão e retorno do sinal. Nosso objetivo é determinar a distância percorrida pela nave espacial durante esse processo no referencial da plataforma .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de relatividade restrita, como dilatação do tempo e contração do comprimento. Também utilizaremos a relação entre velocidade, tempo e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que o sinal de luz leva para ir do emissor até o espelho e voltar na plataforma De. Na nave, a distância entre emissor e espelho é gamma = 1raiz1 - (0,80)^2 = 1raiz1 - 0,64 = 1raiz0,36 = 10,6 approx 1,6667 .
No referencial da plataforma , a nave está se movendo a . Devido a essa movimentação, o tempo medido na plataforma será diferente do tempo medido na nave devido à dilatação do tempo.
A dilatação do tempo é dada pela fórmula:
onde .
Calculando para :

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total que o sinal de luz leva para ir e voltar na plataforma De.
Na nave, o tempo de ida De é:
E o tempo de volta é o mesmo, então o tempo total na nave é .
Aplicando a dilatação do tempo:

Passo 4

Agora, queremos saber qual a distância que a nave percorre durante esse tempo no referencial da plataforma d = v times De. Sabemos que a nave está se movendo a uma velocidade constante de v = 0,80,c = 0,80,cc times cmin = 0,80,cmin/min .
A distância percorrida d = 0,80,cmin/min times 50,min = 40,cmin é dada por:
Primeiro, precisamos expressar em termos de minutos-luz. Sabendo que , temos:
Multiplicando pela duração do tempo:

Resposta

A distância percorrida pela nave espacial é de .

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