Um observador
numa nave espacial que possui um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho. O observador
está parado junto ao dispositivo emissor de sinais luminosos. A distância entre o dispositivo e o espelho é de 15 minutos-luz (escrevemos 15 c.min) e a nave espacial, em repouso no referencial
, viaja com velocidade
em relação a uma plataforma espacial muito comprida, que está em repouso no referencial
. A plataforma possui dois relógios sincronizados, um relógio na posição
, que é a posição da nave espacial quando o observador liga o dispositivo, emitindo um sinal luminoso, e o outro relógio está na posição
, que é a posição da nave espacial quando a luz emitida pelo dispositivo retorna ao próprio dispositivo vinda do espelho.
Obtenha também:
© a distância percorrida pela nave espacial.
Obtenha também:
© a distância percorrida pela nave espacial.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma nave espacial em movimento a uma velocidade de
em relação a uma plataforma espacial. Dentro da nave, há um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho, separados por uma distância de 15 minutos-luz (
). Quando o observador na nave emite um sinal de luz, ele viaja até o espelho e retorna. A plataforma possui dois relógios sincronizados para medir os eventos de emissão e retorno do sinal. Nosso objetivo é determinar a distância percorrida pela nave espacial durante esse processo no referencial da plataforma
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de relatividade restrita, como dilatação do tempo e contração do comprimento. Também utilizaremos a relação entre velocidade, tempo e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que o sinal de luz leva para ir do emissor até o espelho e voltar na plataforma
. Na nave, a distância entre emissor e espelho é
.
No referencial da plataforma
, a nave está se movendo a
. Devido a essa movimentação, o tempo medido na plataforma será diferente do tempo medido na nave devido à dilatação do tempo.
A dilatação do tempo é dada pela fórmula:
onde
.
Calculando
para
:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo total que o sinal de luz leva para ir e voltar na plataforma
.
Na nave, o tempo de ida
é:
E o tempo de volta é o mesmo, então o tempo total na nave é
.
Aplicando a dilatação do tempo:
Passo 4
Agora, queremos saber qual a distância que a nave percorre durante esse tempo no referencial da plataforma
. Sabemos que a nave está se movendo a uma velocidade constante de
.
A distância percorrida
é dada por:
Primeiro, precisamos expressar
em termos de minutos-luz. Sabendo que
, temos:
Multiplicando pela duração do tempo:
Resposta
A distância percorrida pela nave espacial é de
.