Um observador A^prime numa nave espacial que possui um dispositivo emissor de sinais luminosos e um espelho. O observador A^prime está parado junto ao dispositivo emissor de sinais luminosos. A distância entre o dispositivo e o espelho é de 15 minutos-luz (escrevemos 15 c.min) e a nave espacial, em repouso no referencial S^prime, viaja com velocidade v=0,80 c em relação a uma plataforma espacial muito comprida, que está em repouso no referencial S. A plataforma possui dois relógios sincronizados, um relógio na posição x1, que é a posição da nave espacial quando o observador liga o dispositivo, emitindo um sinal luminoso, e o outro relógio está na posição x2, que é a posição da nave espacial quando a luz emitida pelo dispositivo retorna ao próprio dispositivo vinda do espelho.
Obtenha também:
(d) a quantidade pela qual os relógios da plataforma estão fora de sincronização, de acordo com os observadores na nave espacial.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma nave espacial onde o observador A^prime está parado junto a um dispositivo que emite sinais de luz e um espelho, separados por 15 minutos-luz (15 c.min). A nave está se movendo a 0,80c em relação a uma plataforma espacial que está muito comprida e em repouso no referencial S. Na plataforma, há dois relógios sincronizados: um na posição x1 (quando a luz é emitida) e outro na posição x2 (quando a luz refletida retorna). A pergunta (d) quer saber quanto os relógios da plataforma estão fora de sincronização, segundo os observadores na nave espacial. Vamos precisar usar os conceitos de relatividade da simultaneidade e transformações de Lorentz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na teoria da relatividade, relógios que estão sincronizados em um referencial podem não estar sincronizados em outro que está em movimento relativo. Esse fenômeno é conhecido como relatividade da simultaneidade.

Passo 3

A fórmula que relaciona a diferença de sincronização entre dois relógios em diferentes referenciais é:
De
Onde:
  • De é a diferença de tempo no referencial da nave.
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por gamma = 1raiz1 - v^2c^2.
  • De é a diferença de tempo no referencial da plataforma (que é zero, já que os relógios estão sincronizados).
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais.
  • De é a distância entre os relógios na plataforma.

Passo 4

Vamos calcular o fator de Lorentz gamma:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2 = 1raiz1 - (0,80)^2 = 1raiz1 - 0,64 = 1raiz0,36 = 10,6 approx 1,6667

Passo 5

Sabemos que De porque os relógios estão sincronizados na plataforma. Então, a fórmula simplifica para:
De
O sinal negativo indica que há uma diferença de sincronização na direção do movimento.

Passo 6

A distância entre os relógios na plataforma é a distância que a luz percorre até o espelho e volta, que é de 15 c.min. Porém, precisamos considerar que De é a distância entre os relógios, então De.

Passo 7

Vamos substituir os valores na fórmula:
De

Resposta

Os relógios da plataforma estão fora de sincronização por 20 minutos, segundo os observadores na nave espacial.

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