Um foguete gastou todo o seu combustível quando atinge a posição , onde tem uma velocidade de u em um ângulo com relação à horizontal. Então inicia um vôo sem propulsão e atinge uma altura máxima adicional na posição após viajar uma distância horizontal s a partir de . Determine as expressões para e tempo de vôo de para , e a equação da trajetória. Para o intervalo em questão, suponha uma Terra plana com uma aceleração gravitacional constante e despreze qualquer resistência atmosférica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um foguete que, no ponto A, acabou de gastar todo o combustível e está se movendo com uma velocidade de formando um ângulo com a horizontal. A partir daí, ele segue em um voo sem propulsão, ou seja, apenas sob a ação da gravidade. Nosso objetivo aqui é descobrir:
  1. A altura máxima adicional que o foguete alcança depois do ponto A até o ponto B.
  2. A distância horizontal que o foguete percorre nesse mesmo intervalo.
  3. O tempo de vôo do ponto A até o ponto B.
  4. A equação da trajetória desse movimento.
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente os movimentos horizontal e vertical de um projétil. Precisaremos dividir a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ). Isso porque, no voo sem propulsão, a componente horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
As componentes são dadas por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o tempo que o foguete leva para alcançar a altura máxima adicional . Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
No ponto mais alto, , então:
Esse é o tempo que leva para o foguete ir de A até B.

Passo 4

Com o tempo encontrado, podemos calcular a altura máxima adicional . Usamos a equação da posição vertical:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância horizontal que o foguete percorre durante esse tempo . Como a componente horizontal da velocidade é constante, usamos:
Substituindo e :
Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a equação da trajetória do foguete. Sabemos que:
A posição vertical em função de é:
Substituindo em termos de :

Resposta

As expressões são:
çãó

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