Um foguete gastou todo o seu combustível quando atinge a posição
, onde tem uma velocidade de u em um ângulo
com relação à horizontal. Então inicia um vôo sem propulsão e atinge uma altura máxima adicional
na posição
após viajar uma distância horizontal s a partir de
. Determine as expressões para
e
tempo
de vôo de
para
, e a equação da trajetória. Para o intervalo em questão, suponha uma Terra plana com uma aceleração gravitacional
constante e despreze qualquer resistência atmosférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um foguete que, no ponto A, acabou de gastar todo o combustível e está se movendo com uma velocidade de
formando um ângulo
com a horizontal. A partir daí, ele segue em um voo sem propulsão, ou seja, apenas sob a ação da gravidade. Nosso objetivo aqui é descobrir:
- A altura máxima adicional
que o foguete alcança depois do ponto A até o ponto B. - A distância horizontal
que o foguete percorre nesse mesmo intervalo. - O tempo de vôo
do ponto A até o ponto B. - A equação da trajetória desse movimento.
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente os movimentos horizontal e vertical de um projétil. Precisaremos dividir a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial
nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso porque, no voo sem propulsão, a componente horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
As componentes são dadas por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o tempo que o foguete leva para alcançar a altura máxima adicional
. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
No ponto mais alto,
, então:
Esse é o tempo que leva para o foguete ir de A até B.
Passo 4
Com o tempo
encontrado, podemos calcular a altura máxima adicional
. Usamos a equação da posição vertical:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância horizontal
que o foguete percorre durante esse tempo
. Como a componente horizontal da velocidade
é constante, usamos:
Substituindo
e
:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a equação da trajetória
do foguete. Sabemos que:
A posição vertical
em função de
é:
Substituindo
em termos de
:
Resposta
As expressões são:
Exercícios relacionados
Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da trajetória de um foguete que está se deslocando em um vôo sem propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que
, os dados de rastreamento fornecem
, e
. A aceleraçāo do foguete é devida apenas à atração gravitacional e para sua altitude em particular é
verticalmente para baixo. Para estas condições determine a velocidade
do foguete e os valores de
e
.
Resposta: e
.
Resposta:
A ball is released from the bottom of an elevator which is traveling upward with a velocity of
. If the ball strikes the bottom of the elevator shaft in 3 s , determine the height of the elevator from the bottom of the shaft at the instant the ball is released. Also, find the velocity of the ball when it strikes the bottom of the shaft. (Resposta:
e
).
Resolva a EDO abaixo excitada por entrada degrau unitário considerando condições iniciais nulas: Apresente a função no domínio
e no domínio
.