Um foguete gastou todo o seu combustível quando atinge a posição A, onde tem uma velocidade de u em um ângulo theta com relação à horizontal. Então inicia um vôo sem propulsão e atinge uma altura máxima adicional h na posição B após viajar uma distância horizontal s a partir de A. Determine as expressões para h e s, o tempo t de vôo de A para B, e a equação da trajetória. Para o intervalo em questão, suponha uma Terra plana com uma aceleração gravitacional g constante e despreze qualquer resistência atmosférica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um foguete que, no ponto A, acabou de gastar todo o combustível e está se movendo com uma velocidade de formando um ângulo com a horizontal. A partir daí, ele segue em um voo sem propulsão, ou seja, apenas sob a ação da gravidade. Nosso objetivo aqui é descobrir:
  1. A altura máxima adicional que o foguete alcança depois do ponto A até o ponto B.
  2. A distância horizontal que o foguete percorre nesse mesmo intervalo.
  3. O tempo de vôo do ponto A até o ponto B.
  4. A equação da trajetória desse movimento.
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente os movimentos horizontal e vertical de um projétil. Precisaremos dividir a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial ux = u cdot cos(theta) nas suas componentes horizontal ( uy = u cdot sin(theta) ) e vertical ( ). Isso porque, no voo sem propulsão, a componente horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
As componentes são dadas por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o tempo que o foguete leva para alcançar a altura máxima adicional vy = uy - g cdot t . Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
0 = u cdot sin(theta) - g cdot t
No ponto mais alto, t = u cdot sin(theta)g , então:
Esse é o tempo que leva para o foguete ir de A até B.

Passo 4

Com o tempo h = uy cdot t - 12 g cdot t^2 encontrado, podemos calcular a altura máxima adicional h = u cdot sin(theta) cdot u cdot sin(theta)g - 12 g cdot ( u cdot sin(theta)g )^2 . Usamos a equação da posição vertical:
h = u^2 cdot sin^2(theta)g - u^2 cdot sin^2(theta)2g
Substituindo h = u^2 cdot sin^2(theta)2g e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância horizontal s = ux cdot t que o foguete percorre durante esse tempo s = u cdot cos(theta) cdot u cdot sin(theta)g . Como a componente horizontal da velocidade s = u^2 cdot sin(theta) cdot cos(theta)g é constante, usamos:
s = u^2 cdot sin(2theta)2g
Substituindo e :
Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a equação da trajetória x = ux cdot t = u cdot cos(theta) cdot t do foguete. Sabemos que:
t = xu cdot cos(theta)
y = uy cdot t - 12 g cdot t^2 = u cdot sin(theta) cdot t - 12 g cdot t^2
A posição vertical y = u cdot sin(theta) cdot ( xu cdot cos(theta) ) - 12 g cdot ( xu cdot cos(theta) )^2 em função de y = x cdot tan(theta) - g cdot x^22u^2 cdot cos^2(theta) é:
Substituindo em termos de :

Resposta

As expressões são:
h = u^2 cdot sin^2(theta)2g
s = u^2 cdot sin(2theta)2g
t = u cdot sin(theta)g
Equação da trajetória: y = x cdot tan(theta) - g cdot x^22u^2 cdot cos^2(theta) çãó

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