Um foguete gastou todo o seu combustível quando atinge a posição
, onde tem uma velocidade de u em um ângulo
com relação à horizontal. Então inicia um vôo sem propulsão e atinge uma altura máxima adicional
na posição
após viajar uma distância horizontal s a partir de
. Determine as expressões para
e
tempo
de vôo de
para
, e a equação da trajetória. Para o intervalo em questão, suponha uma Terra plana com uma aceleração gravitacional
constante e despreze qualquer resistência atmosférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um foguete que, no ponto A, acabou de gastar todo o combustível e está se movendo com uma velocidade de
formando um ângulo
com a horizontal. A partir daí, ele segue em um voo sem propulsão, ou seja, apenas sob a ação da gravidade. Nosso objetivo aqui é descobrir:
- A altura máxima adicional
que o foguete alcança depois do ponto A até o ponto B. - A distância horizontal
que o foguete percorre nesse mesmo intervalo. - O tempo de vôo
do ponto A até o ponto B. - A equação da trajetória desse movimento.
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente os movimentos horizontal e vertical de um projétil. Precisaremos dividir a velocidade inicial
em suas componentes horizontal e vertical e usar as equações do movimento uniformemente acelerado para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial
nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso porque, no voo sem propulsão, a componente horizontal permanece constante (sem resistência do ar), enquanto a componente vertical é afetada pela gravidade.
As componentes são dadas por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o tempo que o foguete leva para alcançar a altura máxima adicional
. Na altura máxima, a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
No ponto mais alto,
, então:
Esse é o tempo que leva para o foguete ir de A até B.
Passo 4
Com o tempo
encontrado, podemos calcular a altura máxima adicional
. Usamos a equação da posição vertical:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância horizontal
que o foguete percorre durante esse tempo
. Como a componente horizontal da velocidade
é constante, usamos:
Substituindo
e
:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a equação da trajetória
do foguete. Sabemos que:
A posição vertical
em função de
é:
Substituindo
em termos de
:
Resposta
As expressões são: