rotação do braço
em torno de
é definida pela relação
, onde
está em radianos e
em segundos. O Cursor
desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a
é
, onde
é expresso em metros. Após o braço ter girado
, determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta:
e
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um braço que gira em torno de um ponto fixo
e um cursor que desliza ao longo desse braço. Vamos precisar entender de cinemática de movimentos rotacionais e translacionais. Nosso objetivo é encontrar a velocidade total, a aceleração total e a aceleração relativa do cursor depois que o braço girou
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os
para radianos, porque as equações estão em radianos. Sabemos que
radianos são iguais a
. Então:
Passo 3
Agora, temos a relação da rotação do braço:
Queremos encontrar o tempo
quando
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade angular
e a aceleração angular
do braço. Sabemos que:
Substituindo
s:
Passo 5
Agora, vamos analisar o movimento do cursor
. A distância
em função do tempo é:
A velocidade radial
é:
Substituindo
s:
E a aceleração radial
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a velocidade total do cursor. A velocidade total
tem duas componentes: radial e tangencial.
A componente tangencial é:
Usando
:
Então:
A velocidade radial já tínhamos encontrado:
A velocidade total é a combinação dessas duas:
Passo 7
Agora, vamos calcular a aceleração total do cursor. A aceleração total
também tem duas componentes: radial e tangencial.
A componente radial é:
Substituindo os valores:
A componente tangencial é:
Substituindo:
A aceleração total é a combinação dessas duas:
Passo 8
Por fim, vamos determinar a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. A aceleração relativa
é dada por:
Onde
é a aceleração do braço, que é a aceleração centrípeta:
Então:
Mas considerando a direção, a aceleração relativa é negativa:
Resposta
(a) Velocidade total do cursor:
(b) Aceleração total do cursor:
© Aceleração relativa do cursor em relação ao braço: