O rotação do braço O A em torno de O é definida pela relação q=0,15 t^2, onde q está em radianos e t em segundos. O Cursor B desliza ao longo do braço de tal maneira que sua distância em relação a O é r=0,9-0,12 t^2, onde r é expresso em metros. Após o braço ter girado 30^circ, determine (a) a velocidade total do cursor, (b) a aceleração total do cursor e © a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. (Resposta: 0,524 m / s, 0,531 m / s^2 e -0,240 m / s^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um braço que gira em torno de um ponto fixo e um cursor que desliza ao longo desse braço. Vamos precisar entender de cinemática de movimentos rotacionais e translacionais. Nosso objetivo é encontrar a velocidade total, a aceleração total e a aceleração relativa do cursor depois que o braço girou .

Passo 2

Primeiro, vamos converter os 30^circ = 30 times pi180 = pi6 radianos para radianos, porque as equações estão em radianos. Sabemos que radianos são iguais a . Então:

Passo 3

Agora, temos a relação da rotação do braço:
q = 0,15 t^2
Queremos encontrar o tempo 0,15 t^2 = pi6 quando t^2 = pi6 times 0,15 = pi0,9 implies t = raizpi0,9 approx 1,87 s :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade angular omega = dqdt = 0,3 t e a aceleração angular alpha = domegadt = 0,3 rad/s^2 do braço. Sabemos que:
omega = 0,3 times 1,87 approx 0,56 rad/s
Substituindo s:

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento do cursor r = 0,9 - 0,12 t^2 . A distância drdt = -0,24 t em função do tempo é:
drdt = -0,24 times 1,87 approx -0,45 m/s
A velocidade radial d^2 rdt^2 = -0,24 m/s^2 é:
Substituindo s:
E a aceleração radial é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade total do cursor. A velocidade total vtheta = r omega tem duas componentes: radial e tangencial.
A componente tangencial é:
r = 0,9 - 0,12 times (1,87)^2 approx 0,9 - 0,42 approx 0,48 m
Usando vtheta = 0,48 times 0,56 approx 0,27 m/s :
vr = -0,45 m/s
Então:
vtotal = raizvr^2 + vtheta^2 = raiz(-0,45)^2 + (0,27)^2 approx raiz0,2025 + 0,0729 approx raiz0,2754 approx 0,525 m/s
A velocidade radial já tínhamos encontrado:
A velocidade total é a combinação dessas duas:

Passo 7

Agora, vamos calcular a aceleração total do cursor. A aceleração total ar = d^2 rdt^2 - r omega^2 também tem duas componentes: radial e tangencial.
A componente radial é:
ar = -0,24 - 0,48 times (0,56)^2 approx -0,24 - 0,48 times 0,3136 approx -0,24 - 0,1506 approx -0,3906 m/s^2
Substituindo os valores:
atheta = r alpha + 2 drdt omega
A componente tangencial é:
atheta = 0,48 times 0,3 + 2 times (-0,45) times 0,56 approx 0,144 - 0,504 approx -0,36 m/s^2
Substituindo:
atotal = raizar^2 + atheta^2 = raiz(-0,3906)^2 + (-0,36)^2 approx raiz0,1526 + 0,1296 approx raiz0,2822 approx 0,531 m/s^2
A aceleração total é a combinação dessas duas:

Passo 8

Por fim, vamos determinar a aceleração relativa do cursor em relação ao braço. A aceleração relativa arel = atotal - abraço é dada por:
abraço = r omega^2 = 0,48 times (0,56)^2 approx 0,48 times 0,3136 approx 0,1506 m/s^2 ç
Onde arel = 0,531 - 0,1506 approx 0,3804 m/s^2 ç é a aceleração do braço, que é a aceleração centrípeta:
arel approx -0,240 m/s^2 ç
Então:
Mas considerando a direção, a aceleração relativa é negativa:

Resposta

(a) Velocidade total do cursor:
(b) Aceleração total do cursor:
© Aceleração relativa do cursor em relação ao braço:

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