Resolva a EDO abaixo excitada por entrada degrau unitário considerando condições iniciais nulas: Apresente a função no domínio e no domínio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que está sendo excitada por uma entrada em degrau unitário. A equação é:
Nosso objetivo é resolver essa equação considerando que as condições iniciais são nulas (ou seja, e ). Além disso, queremos encontrar a função no domínio do tempo e no domínio de Laplace . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta ótima para resolver esse tipo de problema com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais no domínio do tempo para equações algébricas no domínio , facilitando a resolução.
Lembrando que:
  • A Transformada de é
  • A Transformada de é
Como as condições iniciais são nulas ( e ), as expressões ficam mais simples.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos o termo constante 7 em porque a Transformada de Laplace de uma constante é .

Passo 3

Agora, vamos fatorar na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão :
Esse é o resultado no domínio . Mas para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 4

Para encontrar , vamos decompor usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador .
Calculando as raízes da equação característica :
Então, podemos reescrever o denominador como .
Agora, expressamos em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos seus valores e substituímos de volta na expressão. Após simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.

Resposta

Finalmente, a solução no domínio do tempo é:
E no domínio , a função é:

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