Resolva a EDO abaixo excitada por entrada degrau unitário considerando condições iniciais nulas: Apresente a função no domínio
e no domínio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que está sendo excitada por uma entrada em degrau unitário. A equação é:
Nosso objetivo é resolver essa equação considerando que as condições iniciais são nulas (ou seja,
e
). Além disso, queremos encontrar a função
no domínio do tempo
e no domínio de Laplace
. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta ótima para resolver esse tipo de problema com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais no domínio do tempo
para equações algébricas no domínio
, facilitando a resolução.
Lembrando que:
- A Transformada de
é - A Transformada de
é
Como as condições iniciais são nulas (
e
), as expressões ficam mais simples.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos o termo constante 7 em
porque a Transformada de Laplace de uma constante
é
.
Passo 3
Agora, vamos fatorar
na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão
:
Esse é o resultado no domínio
. Mas para achar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 4
Para encontrar
, vamos decompor
usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador
.
Calculando as raízes da equação característica
:
Então, podemos reescrever o denominador como
.
Agora, expressamos
em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, encontramos seus valores e substituímos de volta na expressão. Após simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Resposta
Finalmente, a solução no domínio do tempo é:
E no domínio
, a função é: