Resolva a EDO abaixo excitada por entrada degrau unitário considerando condições iniciais nulas: Apresente a função no domínio
e no domínio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que está sendo excitada por uma entrada em degrau unitário. A equação é:
Nosso objetivo é resolver essa equação considerando que as condições iniciais são nulas (ou seja,
e
). Além disso, queremos encontrar a função
no domínio do tempo
e no domínio de Laplace
. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta ótima para resolver esse tipo de problema com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais no domínio do tempo
para equações algébricas no domínio
, facilitando a resolução.
Lembrando que:
- A Transformada de
é - A Transformada de
é
Como as condições iniciais são nulas (
e
), as expressões ficam mais simples.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos o termo constante 7 em
porque a Transformada de Laplace de uma constante
é
.
Passo 3
Agora, vamos fatorar
na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão
:
Esse é o resultado no domínio
. Mas para achar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 4
Para encontrar
, vamos decompor
usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador
.
Calculando as raízes da equação característica
:
Então, podemos reescrever o denominador como
.
Agora, expressamos
em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, encontramos seus valores e substituímos de volta na expressão. Após simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.
Resposta
Finalmente, a solução no domínio do tempo é:
E no domínio
, a função é:
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A ball is released from the bottom of an elevator which is traveling upward with a velocity of
. If the ball strikes the bottom of the elevator shaft in 3 s , determine the height of the elevator from the bottom of the shaft at the instant the ball is released. Also, find the velocity of the ball when it strikes the bottom of the shaft. (Resposta:
e
).
Um foguete gastou todo o seu combustível quando atinge a posição
, onde tem uma velocidade de u em um ângulo
com relação à horizontal. Então inicia um vôo sem propulsão e atinge uma altura máxima adicional
na posição
após viajar uma distância horizontal s a partir de
. Determine as expressões para
e
tempo
de vôo de
para
, e a equação da trajetória. Para o intervalo em questão, suponha uma Terra plana com uma aceleração gravitacional
constante e despreze qualquer resistência atmosférica.
A ball is released from the bottom of an elevator which is traveling upward with a velocity of
. If the ball strikes the bottom of the elevator shaft in 3 s , determine the height of the elevator from the bottom of the shaft at the instant the ball is released. Also, find the velocity of the ball when it strikes the bottom of the shaft. (Resposta:
e
)
Uma viga horizontal
está apoiada na extremidade
e suporta uma carga
na extremidade
. A viga também é apoiada em
por uma coluna de extremidade pinada de comprimento
. As peças têm rigidez flexional
. Determinar a máxima carga
que pode ser aplicada ao sistema. (4,0 pontos)