Resolva a EDO abaixo excitada por entrada degrau unitário considerando condições iniciais nulas: Apresente a função no domínio S e no domínio t.
d^2 yd t^2+4 d yd t+2 y=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que está sendo excitada por uma entrada em degrau unitário. A equação é:
d^2 yd t^2 + 4 d yd t + 2 y = 7
Nosso objetivo é resolver essa equação considerando que as condições iniciais são nulas (ou seja, e ). Além disso, queremos encontrar a função no domínio do tempo e no domínio de Laplace . Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta ótima para resolver esse tipo de problema com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais no domínio do tempo s^2 Y(s) + 4 s Y(s) + 2 Y(s) = 7s para equações algébricas no domínio , facilitando a resolução.
Lembrando que:
  • A Transformada de é
  • A Transformada de é
Como as condições iniciais são nulas ( e ), as expressões ficam mais simples.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Aqui, transformamos o termo constante 7 em porque a Transformada de Laplace de uma constante é .

Passo 3

Agora, vamos fatorar Y(s) (s^2 + 4 s + 2) = 7s na equação:
Y(s) = 7s (s^2 + 4 s + 2)
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão :
Esse é o resultado no domínio . Mas para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 4

Para encontrar s = -4 pm raiz16 - 82 = -4 pm raiz82 = -2 pm raiz2 , vamos decompor 7s (s + 2 - raiz2)(s + 2 + raiz2) = As + Bs + 2 - raiz2 + Cs + 2 + raiz2 usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador .
Calculando as raízes da equação característica :
Então, podemos reescrever o denominador como .
Agora, expressamos em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos seus valores e substituímos de volta na expressão. Após simplificar, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para cada termo.

Resposta

Finalmente, a solução no domínio do tempo é:
y(t) = 72 (1 - e^(-2 + raiz2) t ) + 72 (1 - e^(-2 - raiz2) t )
E no domínio Y(s) = 7s (s^2 + 4 s + 2) , a função é:

Exercícios relacionados