Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da trajetória de um foguete que está se deslocando em um vôo sem propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que
, os dados de rastreamento fornecem
, e
. A aceleraçāo do foguete é devida apenas à atração gravitacional e para sua altitude em particular é
verticalmente para baixo. Para estas condições determine a velocidade
do foguete e os valores de
e
.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está voando sem propulsão, ou seja, ele está apenas sob a influência da gravidade. O radar está monitorando esse foguete no plano vertical da sua trajetória. Quando o ângulo
é
, sabemos que:
- A distância do radar até o foguete é
metros. - A velocidade radial (a parte da velocidade que está mudando a distância
) é m/s. - A taxa de variação do ângulo é
graus por segundo.
Queremos determinar:
- A velocidade total
do foguete. - As acelerações radial
e angular .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática polar, que descrevem o movimento em coordenadas polares
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade total
do foguete. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes: radial e angular. A velocidade radial já foi dada como
m/s.
A velocidade angular é dada por
. Mas atenção: a taxa
está em graus por segundo, e precisamos converter para radianos por segundo para manter a consistência das unidades, já que as fórmulas usam radianos.
Sabemos que
grau =
radianos, então:
Agora, calculamos
:
A velocidade total
é a combinação dessas duas componentes:
Passo 3
Agora, vamos calcular as acelerações radial
e angular
. Para isso, precisamos lembrar das equações de movimento em coordenadas polares.
A aceleração radial
é dada por:
Mas como o foguete está sob a única influência da gravidade, precisamos considerar a aceleração gravitacional que atua na direção vertical. Dado que a aceleração gravitacional é
m/s² para baixo, ela afeta a componente radial da aceleração.
No contexto do foguete, a aceleração radial total
será a soma da aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular e a aceleração gravitacional. Portanto:
Onde
m/s².
Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a aceleração angular
. Em movimentos rotacionais, a aceleração angular está relacionada às forças que alteram a taxa de variação do ângulo.
Sabemos que a única força atuando é a gravidade, que influencia a aceleração radial. Mas, para encontrar
, usamos a relação derivada da equação de movimento angular:
Substituindo os valores conhecidos: