Um radar de rastreamento situa-se no plano vertical da trajetória de um foguete que está se deslocando em um vôo sem propulsão acima da atmosfera. Para o instante em que theta=30^circ, os dados de rastreamento fornecem r=8(10^4) m, dotr=1200 m / s, e dottheta= 0,80 graus / s. A aceleraçāo do foguete é devida apenas à atração gravitacional e para sua altitude em particular é 9,20 m / s^2 verticalmente para baixo. Para estas condições determine a velocidade v do foguete e os valores de ddotr e ddottheta.
Resposta: v=1639 m / s, ddotr=7,63 m / s^2 e ddottheta=-3,61 times 10^4 rad / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está voando sem propulsão, ou seja, ele está apenas sob a influência da gravidade. O radar está monitorando esse foguete no plano vertical da sua trajetória. Quando o ângulo theta é 30^circ, sabemos que:
  • A distância do radar até o foguete é r = 8 times 10^4 metros.
  • A velocidade radial (a parte da velocidade que está mudando a distância r) é dotr = 1200 m/s.
  • A taxa de variação do ângulo é dottheta = 0,80 graus por segundo.
Queremos determinar:
  1. A velocidade total v do foguete.
  2. As acelerações radial ddotr e angular ddottheta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática polar, que descrevem o movimento em coordenadas polares (r, theta). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade total v do foguete. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes: radial e angular. A velocidade radial já foi dada como dotr = 1200 m/s.
A velocidade angular é dada por vtheta = r cdot dottheta. Mas atenção: a taxa dottheta está em graus por segundo, e precisamos converter para radianos por segundo para manter a consistência das unidades, já que as fórmulas usam radianos.
Sabemos que 1 grau = pi180 radianos, então:
dottheta = 0,80 , graus/s = 0,80 times pi180 approx 0,01396 , rad/s
Agora, calculamos vtheta:
vtheta = r cdot dottheta = 8 times 10^4 , m times 0,01396 , rad/s approx 1117 , m/s
A velocidade total v é a combinação dessas duas componentes:
v = raizdotr^2 + vtheta^2 = raiz(1200)^2 + (1117)^2 approx 1639 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular as acelerações radial ddotr e angular ddottheta. Para isso, precisamos lembrar das equações de movimento em coordenadas polares.
A aceleração radial ddotr é dada por:
ddotr = v^2r - r cdot dottheta^2
Mas como o foguete está sob a única influência da gravidade, precisamos considerar a aceleração gravitacional que atua na direção vertical. Dado que a aceleração gravitacional é 9,20 m/s² para baixo, ela afeta a componente radial da aceleração.
No contexto do foguete, a aceleração radial total ddotr será a soma da aceleração centrípeta necessária para manter o movimento circular e a aceleração gravitacional. Portanto:
ddotr = v^2r - g
Onde g = 9,20 m/s².
Substituindo os valores:
ddotr = (1639)^28 times 10^4 - 9,20 approx 7,63 , m/s^2

Passo 4

Por fim, vamos determinar a aceleração angular ddottheta. Em movimentos rotacionais, a aceleração angular está relacionada às forças que alteram a taxa de variação do ângulo.
Sabemos que a única força atuando é a gravidade, que influencia a aceleração radial. Mas, para encontrar ddottheta, usamos a relação derivada da equação de movimento angular:
ddottheta = -2 dotr dotthetar
Substituindo os valores conhecidos:
ddottheta = -2 times 1200 times 0,013968 times 10^4 approx -3,61 times 10^4 , rad/s^2

Resposta

v=1639 m / s, ddotr=7,63 m / s^2 e ddottheta=-3,61 times 10^4 rad / s^2.

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