Um foguete é lançado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 60^circ acima da horizontal, com aceleração de 40,0 m / s^2. Depois de 30,0 s de vôo com o empuxo máximo, os motores são desligados (ponto A ) e o foguete segue uma trajetória parabólica de volta a Terra. B) No ponto A, escreva o vetor posição e ache o seu deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um foguete que é lançado do repouso, ou seja, com velocidade inicial zero. Ele sobe numa trajetória inclinada de 60^circ em relação à horizontal, com uma aceleração constante de 40,0 , m/s^2. Depois de 30,0 segundos de voo com os motores ligados, os motores são desligados no ponto A, e aí o foguete começa a descer de volta à Terra numa trajetória parabólica. A parte B da questão quer que a gente escreva o vetor posição no ponto A e calcule o deslocamento até esse ponto.
Pra resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado na direção do lançamento. Vamos dividir o movimento em duas componentes: horizontal e vertical, já que o foguete está se movendo em uma direção inclinada.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a aceleração do foguete nas direções horizontal e vertical. Sabemos que a aceleração total é a = 40,0 , m/s^2 e o ângulo de inclinação é 60^circ.
As componentes são:
ax = a cdot cos(theta)
ay = a cdot sin(theta)
Onde theta = 60^circ.
Calculando:
ax = 40,0 cdot cos(60^circ) = 40,0 cdot 0,5 = 20,0 , m/s^2
ay = 40,0 cdot sin(60^circ) = 40,0 cdot (raiz32) approx 40,0 cdot 0,8660 approx 34,64 , m/s^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição do foguete no ponto A usando as equações do movimento. Como ele parte do repouso, a velocidade inicial v0x = 0 e v0y = 0. A posição em cada direção após o tempo t é dada por:
x = v0x cdot t + 12 ax t^2
y = v0y cdot t + 12 ay t^2
Como v0x = v0y = 0, simplifica para:
x = 12 ax t^2
y = 12 ay t^2
Substituindo os valores conhecidos ( t = 30,0 , s):
x = 12 cdot 20,0 cdot (30,0)^2 = 10,0 cdot 900 = 9000 , m
y = 12 cdot 34,64 cdot (30,0)^2 approx 17,32 cdot 900 = 15588 , m

Passo 4

Com as posições calculadas nas direções horizontal e vertical, podemos escrever o vetor posição no ponto A. Em notação vetorial, considerando o eixo horizontal como i e o vertical como j, temos:
r = x , i + y , j
Substituindo os valores:
r = 9000 , i + 15588 , j , m

Resposta

No ponto A, o vetor posição é:
r = 9000 , i + 15588 , j , m
E o deslocamento até esse ponto é de 9000 , m na horizontal e 15588 , m na vertical.

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