Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que a gente tem é:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução geral dessa E.D.O.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para baseada no lado direito e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 6

Primeiro, para o termo polinomial , vamos supor que a solução particular seja:
Aqui, , e são coeficientes a serem encontrados.

Passo 7

Segundo, para o termo , vamos assumir:
Novamente, e são coeficientes desconhecidos.

Passo 8

A solução particular total será a soma das duas:

Passo 9

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 10

Substituindo , e na equação diferencial:

Passo 11

Expandindo e agrupando os termos:

Passo 12

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 13

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Simplificando:

Passo 14

Resolvendo o sistema para e :
Da última equação:
Substituindo na quarta equação:
Então:

Passo 15

Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 16

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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