Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução da E.D.O abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que a gente tem é:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução geral dessa E.D.O.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para baseada no lado direito e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 6
Primeiro, para o termo polinomial , vamos supor que a solução particular seja:
Aqui, , e são coeficientes a serem encontrados.
Passo 7
Segundo, para o termo , vamos assumir:
Novamente, e são coeficientes desconhecidos.
Passo 8
A solução particular total será a soma das duas:
Passo 9
Agora, vamos calcular as derivadas de :
Passo 10
Substituindo , e na equação diferencial:
Passo 11
Expandindo e agrupando os termos:
Passo 12
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 13
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Simplificando:
Passo 14
Resolvendo o sistema para e :
Da última equação:
Substituindo na quarta equação:
Então:
Passo 15
Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 16
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: