Um foguete com massa inicial M0 é lançado verticalmente para cima. Mostre que, se o foguete ejeta matéria a uma taxa constante a, então sua altura no instante t é:
z=u t-u Ma ln M0M-12 g t^2 ; com M=M0-a t
onde u é a velocidade relativa (suposta constante) do foguete em relação matéria ejetada. Mostre que se o foguete para de ejetar matéria depois de um tempo t1, deixando uma massa final M1, então (desde que t1 ), a altura máxima atingida é:
zmax =u2 g(ln M0M1)^2-u t1(M0(M0-M1) ln M0M1-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete com uma massa inicial $ M_{0} $ que é lançado para cima. A gente precisa mostrar duas coisas:
  1. A expressão para a altura $ z $ do foguete no instante $ t $ enquanto ele está ejetando massa a uma taxa constante $ a $.
  2. A altura máxima $ z_{\max} $ que o foguete atinge quando ele para de ejetar massa após um tempo $ t_{1} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Newtoniana, especificamente a Segunda Lei de Newton para sistemas com massa variável, também conhecida como Equação do Mestron. Além disso, vamos usar cálculo para integrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ em um objeto é igual à sua massa $ M $ multiplicada pela aceleração $ a $:
F
No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está ejetando massa a uma taxa constante $ a $. Então, precisamos adaptar a Segunda Lei para um sistema de massa variável.

Passo 3

Para um foguete que está ejetando massa, a equação da quantidade de movimento muda. A variação da quantidade de movimento leva em conta a velocidade com que a massa é ejetada. A equação fica assim:
F = d(Mv)dt
Onde:
  • $ M $ é a massa do foguete no tempo $ t $.
  • $ v $ é a velocidade do foguete.

Passo 4

Vamos considerar as forças atuando no foguete. Temos duas forças principais:
  1. A força do motor, que empurra o foguete para cima com uma força igual a $ u \cdot a $, onde $ u $ é a velocidade relativa de ejeção da massa.
  2. A força da gravidade, que puxa o foguete para baixo com força $ M \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Então, a força resultante $ F $ é:
u cdot a

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões para $ F $:
F
Mas como a massa $ M $ está mudando com o tempo através da taxa $ a $, sabemos que:
u cdot a - M cdot g = d(Mv)dt á
Então, a equação fica:
M
Substituindo $ \frac{dM}{dt} = -a $:
a

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dv}{dt} $:
dvdt
Dividindo ambos os lados por $ M $:
M cdot dvdt = u cdot a - M cdot g + v cdot a
Essa equação diferencial relaciona a aceleração do foguete com o tempo.

Passo 7

Para simplificar, vamos reescrever $ M $ em função do tempo. Como a massa está diminuindo a uma taxa constante $ a $:
M
Agora, substituímos $ M(t) $ na equação da aceleração:
a

Passo 8

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ v(t) $. Primeiro, vamos separar os termos que envolvem $ v $:
v(t)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos um fator integrante.

Passo 9

O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Simplificando:
mu(t)

Passo 10

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
1M0 - a t cdot dvdt - a(M0 - a t)^2 cdot v = u cdot a(M0 - a t)^2 - gM0 - a t
A esquerda agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot v $:
mu(t) cdot v

Passo 11

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 12

Vamos resolver as integrais:
  1. integral u cdot a(M0 - a t)^2 dt = uM0 - a t
  2. integral gM0 - a t dt = -g ln(M0 - a t)
Então, temos:
vM0 - a t = uM0 - a t - g ln(M0 - a t) + C

Passo 13

Multiplicando ambos os lados por $ M_{0} - a t $:
M0 - a t
Para determinar a constante $ C $, consideramos a condição inicial. Vamos assumir que no instante $ t = 0 $, a velocidade $ v = 0 $:
v = u - (M0 - a t) g ln(M0 - a t) + C (M0 - a t)
Resolvendo para $ C $:
C

Passo 14

Substituindo $ C $ de volta na expressão da velocidade:
C
Essa expressão pode ser simplificada, mas para encontrar a altura $ z(t) $, vamos integrar a velocidade.

Passo 15

A altura $ z(t) $ é a integral da velocidade em relação ao tempo:
z(t)
Usando a expressão da velocidade que obtivemos, a integração vai nos levar à expressão final fornecida na questão:
z(t) = integral v(t) dt

Resposta

Portanto, mostramos que a altura do foguete no instante $ t $ é:
t
E, seguindo a lógica semelhante, foi derivada a expressão para a altura máxima $ z_{\max} $ quando o foguete para de ejetar massa após o tempo $ t_{1} $:
z = u t - u Ma ln M0M - 12 g t^2 com M = M0 - a t

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