Um foguete com massa inicial
é lançado verticalmente para cima. Mostre que, se o foguete ejeta matéria a uma taxa constante
, então sua altura no instante
é:
onde
é a velocidade relativa (suposta constante) do foguete em relação matéria ejetada. Mostre que se o foguete para de ejetar matéria depois de um tempo
, deixando uma massa final
, então (desde que
), a altura máxima atingida é:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete com uma massa inicial $ M_{0} $ que é lançado para cima. A gente precisa mostrar duas coisas:
- A expressão para a altura $ z $ do foguete no instante $ t $ enquanto ele está ejetando massa a uma taxa constante $ a $.
- A altura máxima $ z_{\max} $ que o foguete atinge quando ele para de ejetar massa após um tempo $ t_{1} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Newtoniana, especificamente a Segunda Lei de Newton para sistemas com massa variável, também conhecida como Equação do Mestron. Além disso, vamos usar cálculo para integrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ em um objeto é igual à sua massa $ M $ multiplicada pela aceleração $ a $:
No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está ejetando massa a uma taxa constante $ a $. Então, precisamos adaptar a Segunda Lei para um sistema de massa variável.
Passo 3
Para um foguete que está ejetando massa, a equação da quantidade de movimento muda. A variação da quantidade de movimento leva em conta a velocidade com que a massa é ejetada. A equação fica assim:
Onde:
- $ M $ é a massa do foguete no tempo $ t $.
- $ v $ é a velocidade do foguete.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuando no foguete. Temos duas forças principais:
- A força do motor, que empurra o foguete para cima com uma força igual a $ u \cdot a $, onde $ u $ é a velocidade relativa de ejeção da massa.
- A força da gravidade, que puxa o foguete para baixo com força $ M \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Então, a força resultante $ F $ é:
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões para $ F $:
Mas como a massa $ M $ está mudando com o tempo através da taxa $ a $, sabemos que:
Então, a equação fica:
Substituindo $ \frac{dM}{dt} = -a $:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dv}{dt} $:
Dividindo ambos os lados por $ M $:
Essa equação diferencial relaciona a aceleração do foguete com o tempo.
Passo 7
Para simplificar, vamos reescrever $ M $ em função do tempo. Como a massa está diminuindo a uma taxa constante $ a $:
Agora, substituímos $ M(t) $ na equação da aceleração:
Passo 8
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ v(t) $. Primeiro, vamos separar os termos que envolvem $ v $:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos um fator integrante.
Passo 9
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Simplificando:
Passo 10
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot v $:
Passo 11
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 12
Vamos resolver as integrais:
Então, temos:
Passo 13
Multiplicando ambos os lados por $ M_{0} - a t $:
Para determinar a constante $ C $, consideramos a condição inicial. Vamos assumir que no instante $ t = 0 $, a velocidade $ v = 0 $:
Resolvendo para $ C $:
Passo 14
Substituindo $ C $ de volta na expressão da velocidade:
Essa expressão pode ser simplificada, mas para encontrar a altura $ z(t) $, vamos integrar a velocidade.
Passo 15
A altura $ z(t) $ é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Usando a expressão da velocidade que obtivemos, a integração vai nos levar à expressão final fornecida na questão:
Resposta
Portanto, mostramos que a altura do foguete no instante $ t $ é:
E, seguindo a lógica semelhante, foi derivada a expressão para a altura máxima $ z_{\max} $ quando o foguete para de ejetar massa após o tempo $ t_{1} $: