Um relógio de cuco, em que o cuco pesa 200 g , vibra horizontalmente sem atrito no extremo de uma mola horizontal, para a qual k=7,0 N / m. O cuco fechado no relógio está a 5,0 cm da sua posição de equilíbrio.
Determine:
a) A sua velocidade máxima
b) A sua velocidade quando está a 3,0 cm da sua posição de equilíbrio
c) Qual é o valor da aceleração em cada um dos casos anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um relógio de cuco que está preso no final de uma mola horizontal. As informações que temos são:
  • Massa do cuco: (que é )
  • Constante da mola:
  • Distância inicial da posição de equilíbrio: (ou )
Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS), onde a mola oscila sem atrito. Vamos calcular:
a) A velocidade máxima do cuco.
b) A velocidade quando o cuco está a da posição de equilíbrio.
c) A aceleração nos dois casos anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a velocidade funciona no movimento harmônico simples. A velocidade máxima ocorre quando a mola passa pela posição de equilíbrio. Isso acontece porque toda a energia potencial da mola se transforma em energia cinética.
A energia potencial elástica é dada por:
U = 12 k x^2
E a energia cinética é:
K = 12 m v^2
No ponto de máxima velocidade, 12 k x0^2 = 12 m vmax^2 e vmax = raizkm x0 é máxima. Pela conservação da energia:
Podemos isolar :

Passo 3

Vamos calcular a velocidade máxima usando os valores fornecidos:
vmax = raiz7,0, N/m0,2, kg times 0,05, m
Primeiro, calculamos vmax approx 5,916 times 0,05 = 0,296, m/s
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade quando o cuco está a 12 k x0^2 = 12 k x^2 + 12 m v^2 da posição de equilíbrio. Nesse ponto, tanto energia potencial quanto cinética estão presentes.
Usando a conservação da energia:
v = raizkm (x0^2 - x^2)
Isolando :

Passo 5

Substituindo os valores:
v = raiz7,0, N/m0,2, kg (0,05^2 - 0,03^2)
Calculando dentro da raiz:
7,00,2 = 35, rad^2/s^2
0,05^2 - 0,03^2 = 0,0025 - 0,0009 = 0,0016, m^2
Então:
v = raiz35 times 0,0016 = raiz0,056 approx 0,237, m/s

Passo 6

Por último, vamos calcular a aceleração nos dois casos. A aceleração em um MHS é dada por:
a = -km x
O sinal negativo indica que a aceleração é para restaurar a posição de equilíbrio, mas vamos considerar apenas o valor absoluto.

Passo 7

Para a velocidade máxima ( a = 7,00,2 times 0 = 0, m/s^2 ):
a = 7,00,2 times 0,03 = 35 times 0,03 = 1,05, m/s^2
Aceleração é zero porque na posição de equilíbrio a velocidade é máxima e a força (e, portanto, a aceleração) é zero.
Para :

Resposta

a) A velocidade máxima do cuco é aproximadamente .
b) A velocidade quando o cuco está a da posição de equilíbrio é aproximadamente .
c) A aceleração é:
  • na posição de equilíbrio (máxima velocidade).
  • quando o cuco está a da posição de equilíbrio.

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