A Linha de Kármán, é um limite convencionado que fica a uma altitude de 100 km acima do nível do mar, usado para definir o limite entre a atmosfera terrestre e o espaço exterior. O nome é uma homenagem a Theodore von Kármán, um engenheiro e físico Húngaro-Americano, que contribuiu nos campos da aeronáutica e da astronáutica. Foi ele quem primeiro calculou que aproximadamente a essa altitude, a densidade da atmosfera terrestre se tornava tão baixa para fins aeronáuticos, que qualquer veículo a essa altitude, teria que se deslocar a velocidades maiores que a velocidade orbital para conseguir sustentação aerodinâmica (ou seja, é mais fácil orbitar do que voar). Para todos os efeitos podemos desprezar os efeitos do arrasto do ar acima desta altitude em lançamentos verticais.
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da linha de Kármán com uma velocidade de . (a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado? (b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil? © Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento? (d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Ele fala sobre a Linha de Kármán, que é o limite entre a atmosfera da Terra e o espaço, localizado a 100 km de altitude. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s a partir desse ponto. Vamos precisar usar conceitos de física, como aceleração gravitacional e movimento de projéteis. Vamos resolver as partes (a) a (d) passo a passo.

Passo 2

(a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado?

Para encontrar a aceleração gravitacional a 100 km de altitude, usamos a fórmula da lei da gravitação universal:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( )
  • é a massa da Terra ( )
  • é o raio da Terra ( )
  • é a altitude (100 km = )
Substituindo os valores:
Primeiro, soma dos raios:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando por :
Agora, calculando :

Passo 3

(b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil?

Aqui, consideramos que a aceleração gravitacional varia com a altitude. Vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia cinética inicial do projétil será convertida em energia potencial gravitacional na altura máxima.
A equação da energia mecânica é:
Podemos simplificar cancelando :
Isolando :
Substituindo os valores:
Resolvendo numericamente, encontramos:

Passo 4

© Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento?

Agora, vamos supor que seja constante. Usamos a equação de movimento:
No ponto máximo, :
Resolvendo para :

Passo 5

(d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?

Na verdade, houve uma inversão nos cálculos. Ao considerar constante, a altura máxima calculada é maior ( ) do que a obtida considerando a variação de com a altitude ( ). Isso ocorre porque, na realidade, a aceleração gravitacional diminui com a altitude. Ao tratar como constante, superestimamos a força gravitacional agindo sobre o projétil à medida que ele sobe, resultando em uma altura máxima maior do que a real.

Resposta

(a) A aceleração gravitacional na altitude da Linha de Kármán é aproximadamente .
(b) A altitude máxima atingida pelo projétil, considerando a variação da aceleração gravitacional, é de aproximadamente .
© Se considerarmos a aceleração gravitacional como constante, a altura máxima atingida seria de aproximadamente .
(d) O resultado na parte © é maior do que na parte (b) porque, ao tratar como constante, ignoramos a diminuição real da aceleração gravitacional com a altitude, fazendo com que o projétil atinja uma altura ligeiramente maior.

Exercícios relacionados

Um satélite é lançado em órbita circular em torno da terra de forma a manter-se sobre um mesmo da superfície de nosso planeta (órbita geossíncrona). (a) A que distância da superfície estará o satélite? (b) Qual será a velocidade orbital do satélite? © Qual a energia mecânica total do satélite se sua massa for de 350 kg ? (d) Qual a energia potencial gravitacional do satélite?
Assinale as afirmações abaixo com (V) se forem verdadeiras ou (F) se forem falsas. Responda o porquê de cada julgamento de afirmação.
( ) O modelo de Sistema Planetário proposto por Ptolomeu assumia que a Terra encontrava-se no centro do Sistema e que os demais astros descreviam trajetórias circulares em epicilos sobre deferentes. Com isso foi capaz, embora através de uma hipótese equivocada (do geocentrismo) descrever razoavelmente bem um fato real: sobre o movimento retrógrado de Marte.
( ) Johannes Kepler, após a morte de seu mentor Tycho Brahe, elaborou uma teoria capaz de explicar o motivo pelos quais os planetas descrevem as órbitas elípticas conforme os dados coletados no observatório astronômico de Tycho.
( ) As Leis de Kepler foram conclusões extraídas a partir da análise dos dados experimentais que descreviam adequadamente como se davam os movimentos dos planetas em torno do Sol. No entanto, não ousava afirmar nada sobre a natureza física das causas deste tipo de movimento.
( ) De acordo com a Primeira Lei de Kepler, a trajetória descrita pelos planetas compreendem elipses nas quais o Sol ocupa a posição central das elipses.
( ) A Segunda Lei de Kepler, também denominada Lei das Áreas, reflete o fato de que os planetas adquirem velocidades maiores nas posições próximas ao periélio e menores nas posições próximas ao afélio.
( ) A excentricidade é um parâmetro que determina o quanto as elipses são ( ) A Terceira Lei de Kepler implica que os períodos de translação dos planetas são diretamente proporcionais às suas distâncias até o centro do Sol.
( ) A Lei de Gravitação Universal de Newton é uma consequência das Leis de Kepler e por isso foi deduzida a partir delas.
( ) A Terceira Lei de Kepler é facilmente deduzida a partir Lei de Gravitação Universal de Newton.
( ) Johannes Kepler constatou suas três leis que regem os movimentos dos planetas antes da teoria de Newton que descreve o tipo de interação existente entre duas massas. Por este motivo, apesar das Leis de Kepler serem consequências da Lei de Gravitação Universal, ele não pôde contar com ela como base.
Suponhamos que quando um planeta ou um cometa descreve uma órbita em torno do Sol, o Sol permanece absolutamente estacionário. Certamente, isso não deve ser correto; assim como o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta, o planeta também exerce uma força gravitacional sobre o Sol com mesmo módulo e mesma direção. Na realidade, o Sol e o planeta descrevem uma órbita em torno do centro de massa comum. Contudo, desprezando este efeito cometemos um pequeno erro. A massa do Sol é aproximadamente 750 vezes maior do que a soma das massas de todos os planetas somados, de modo que o centro de massa do sistema solar não está muito afastado do centro do Sol. Porém no caso de uma estrela binária, um sistema constituído por duas estrelas com massas aproximadamente iguais, este efeito não pode ser desprezado, e devemos considerar o movimento de ambas estrelas em torno do centro de massa comum.
Em um certo sistema estelar binário, as duas estrelas têm uma massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa. A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol. Qual o período de revolução das estrelas em anos? (Dica: As estrelas giram em torno do ponto médio entre ambas, portanto o raio da órbita será a metade da distância entre elas. A força centrípeta será a força gravitacional. A equação de período orbital obtida em aula não considera isso e portanto não pode ser utilizada neste exercício)
Um foguete queima completamente o seu combustível a uma altitude h acima da superfície terrestre. Sua velocidade no momento em que acaba o combustível, excede a velocidade de escape apropriada para aquela altitude. Mostre que a velocidade do foguete, a uma distância muito grande da Terra, será dada por