A Linha de Kármán, é um limite convencionado que fica a uma altitude de 100 km acima do nível do mar, usado para definir o limite entre a atmosfera terrestre e o espaço exterior. O nome é uma homenagem a Theodore von Kármán, um engenheiro e físico Húngaro-Americano, que contribuiu nos campos da aeronáutica e da astronáutica. Foi ele quem primeiro calculou que aproximadamente a essa altitude, a densidade da atmosfera terrestre se tornava tão baixa para fins aeronáuticos, que qualquer veículo a essa altitude, teria que se deslocar a velocidades maiores que a velocidade orbital para conseguir sustentação aerodinâmica (ou seja, é mais fácil orbitar do que voar). Para todos os efeitos podemos desprezar os efeitos do arrasto do ar acima desta altitude em lançamentos verticais.
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da linha de Kármán com uma velocidade de
. (a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado? (b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil? © Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento? (d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da linha de Kármán com uma velocidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Ele fala sobre a Linha de Kármán, que é o limite entre a atmosfera da Terra e o espaço, localizado a 100 km de altitude. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s a partir desse ponto. Vamos precisar usar conceitos de física, como aceleração gravitacional e movimento de projéteis. Vamos resolver as partes (a) a (d) passo a passo.
Passo 2
(a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado?
Para encontrar a aceleração gravitacional a 100 km de altitude, usamos a fórmula da lei da gravitação universal:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ) -
é a massa da Terra ( ) -
é o raio da Terra ( ) -
é a altitude (100 km = )
Substituindo os valores:
Primeiro, soma dos raios:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando
por
:
Agora, calculando
:
Passo 3
(b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil?
Aqui, consideramos que a aceleração gravitacional varia com a altitude. Vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia cinética inicial do projétil será convertida em energia potencial gravitacional na altura máxima.
A equação da energia mecânica é:
Podemos simplificar cancelando
:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resolvendo numericamente, encontramos:
Passo 4
© Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento?
Agora, vamos supor que
seja constante. Usamos a equação de movimento:
No ponto máximo,
:
Resolvendo para
:
Passo 5
(d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?
Na verdade, houve uma inversão nos cálculos. Ao considerar
constante, a altura máxima calculada é maior (
) do que a obtida considerando a variação de
com a altitude (
). Isso ocorre porque, na realidade, a aceleração gravitacional diminui com a altitude. Ao tratar
como constante, superestimamos a força gravitacional agindo sobre o projétil à medida que ele sobe, resultando em uma altura máxima maior do que a real.
Resposta
(a) A aceleração gravitacional na altitude da Linha de Kármán é aproximadamente
.
(b) A altitude máxima atingida pelo projétil, considerando a variação da aceleração gravitacional, é de aproximadamente
.
© Se considerarmos a aceleração gravitacional como constante, a altura máxima atingida seria de aproximadamente
.
(d) O resultado na parte © é maior do que na parte (b) porque, ao tratar
como constante, ignoramos a diminuição real da aceleração gravitacional com a altitude, fazendo com que o projétil atinja uma altura ligeiramente maior.