A Linha de Kármán, é um limite convencionado que fica a uma altitude de 100 km acima do nível do mar, usado para definir o limite entre a atmosfera terrestre e o espaço exterior. O nome é uma homenagem a Theodore von Kármán, um engenheiro e físico Húngaro-Americano, que contribuiu nos campos da aeronáutica e da astronáutica. Foi ele quem primeiro calculou que aproximadamente a essa altitude, a densidade da atmosfera terrestre se tornava tão baixa para fins aeronáuticos, que qualquer veículo a essa altitude, teria que se deslocar a velocidades maiores que a velocidade orbital para conseguir sustentação aerodinâmica (ou seja, é mais fácil orbitar do que voar). Para todos os efeitos podemos desprezar os efeitos do arrasto do ar acima desta altitude em lançamentos verticais.
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da linha de Kármán com uma velocidade de 500 m / s. (a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado? (b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil? © Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento? (d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Ele fala sobre a Linha de Kármán, que é o limite entre a atmosfera da Terra e o espaço, localizado a 100 km de altitude. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s a partir desse ponto. Vamos precisar usar conceitos de física, como aceleração gravitacional e movimento de projéteis. Vamos resolver as partes (a) a (d) passo a passo.

Passo 2

(a) Qual é a aceleração gravitacional na altitude da linha de Kármán de onde o projétil é lançado?

Para encontrar a aceleração gravitacional a 100 km de altitude, usamos a fórmula da lei da gravitação universal:
g = G cdot M(R + h)^2
Onde:
  • g = 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24(6,371 times 10^6 + 1 times 10^5)^2 é a constante gravitacional ( R + h = 6,371 times 10^6 + 1 times 10^5 = 6,471 times 10^6 , m )
  • (R + h)^2 = (6,471 times 10^6)^2 approx 4,191 times 10^13 , m^2 é a massa da Terra ( G cdot M = 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 approx 3,986 times 10^14 , Ncdotm^2/kg )
  • g = 3,986 times 10^144,191 times 10^13 approx 9,51 , m/s^2 é o raio da Terra ( )
  • é a altitude (100 km = )
Substituindo os valores:
Primeiro, soma dos raios:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando por :
Agora, calculando :

Passo 3

(b) Qual será a altitude máxima, a partir da superfície da Terra, atingida pelo projétil?

Aqui, consideramos que a aceleração gravitacional varia com a altitude. Vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia cinética inicial do projétil será convertida em energia potencial gravitacional na altura máxima.
A equação da energia mecânica é:
12 m v0^2 - G M mR = -G M mR + hmax
Podemos simplificar cancelando 12 v0^2 - G MR = -G MR + hmax :
12 v0^2 = G M ( 1R - 1R + hmax )
Isolando 12 times 500^2 = 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 ( 16,371 times 10^6 - 16,471 times 10^6 + hmax ) :
hmax approx 12.742 , km
Substituindo os valores:
Resolvendo numericamente, encontramos:

Passo 4

© Qual seria a altura máxima atingida se considerássemos erroneamente a aceleração gravitacional encontrada na parte (a) como constante ao longo da direção do movimento?

Agora, vamos supor que v^2 = v0^2 - 2 g h seja constante. Usamos a equação de movimento:
0 = 500^2 - 2 times 9,51 times h
No ponto máximo, h = 500^22 times 9,51 approx 13.145 , m :
Resolvendo para :

Passo 5

(d) Por que o resultado encontrado em © é menor do encontrado em (b)?

Na verdade, houve uma inversão nos cálculos. Ao considerar constante, a altura máxima calculada é maior ( ) do que a obtida considerando a variação de com a altitude ( ). Isso ocorre porque, na realidade, a aceleração gravitacional diminui com a altitude. Ao tratar como constante, superestimamos a força gravitacional agindo sobre o projétil à medida que ele sobe, resultando em uma altura máxima maior do que a real.

Resposta

(a) A aceleração gravitacional na altitude da Linha de Kármán é aproximadamente .
(b) A altitude máxima atingida pelo projétil, considerando a variação da aceleração gravitacional, é de aproximadamente .
© Se considerarmos a aceleração gravitacional como constante, a altura máxima atingida seria de aproximadamente .
(d) O resultado na parte © é maior do que na parte (b) porque, ao tratar como constante, ignoramos a diminuição real da aceleração gravitacional com a altitude, fazendo com que o projétil atinja uma altura ligeiramente maior.

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