Suponhamos que quando um planeta ou um cometa descreve uma órbita em torno do Sol, o Sol permanece absolutamente estacionário. Certamente, isso não deve ser correto; assim como o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta, o planeta também exerce uma força gravitacional sobre o Sol com mesmo módulo e mesma direção. Na realidade, o Sol e o planeta descrevem uma órbita em torno do centro de massa comum. Contudo, desprezando este efeito cometemos um pequeno erro. A massa do Sol é aproximadamente 750 vezes maior do que a soma das massas de todos os planetas somados, de modo que o centro de massa do sistema solar não está muito afastado do centro do Sol. Porém no caso de uma estrela binária, um sistema constituído por duas estrelas com massas aproximadamente iguais, este efeito não pode ser desprezado, e devemos considerar o movimento de ambas estrelas em torno do centro de massa comum.
Em um certo sistema estelar binário, as duas estrelas têm uma massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa. A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol. Qual o período de revolução das estrelas em anos? (Dica: As estrelas giram em torno do ponto médio entre ambas, portanto o raio da órbita será a metade da distância entre elas. A força centrípeta será a força gravitacional. A equação de período orbital obtida em aula não considera isso e portanto não pode ser utilizada neste exercício)
Em um certo sistema estelar binário, as duas estrelas têm uma massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa. A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol. Qual o período de revolução das estrelas em anos? (Dica: As estrelas giram em torno do ponto médio entre ambas, portanto o raio da órbita será a metade da distância entre elas. A força centrípeta será a força gravitacional. A equação de período orbital obtida em aula não considera isso e portanto não pode ser utilizada neste exercício)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdos Envolvidos
Estamos analisando um sistema estelar binário, onde duas estrelas com massa igual à do Sol orbitam um ponto comum chamado centro de massa. A distância entre as duas estrelas é a mesma que a distância entre a Terra e o Sol, ou seja, 1 Unidade Astronômica (UA). Precisamos determinar o período de revolução dessas estrelas em anos. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Lei da Gravitação Universal de Newton e movimento circular uniforme, aplicando fórmulas relacionadas à força centrípeta e à força gravitacional.
Passo 2
Identificando as Massas e Distâncias
Cada estrela tem a massa do Sol, que é aproximadamente
kg. A distância entre as duas estrelas é de 1 UA, que é aproximadamente
metros. Como as massas são iguais, o centro de massa fica exatamente no ponto médio entre elas. Portanto, cada estrela orbita a uma distância
metros do centro de massa.
Passo 3
Aplicando a Lei da Gravitação Universal e a Força Centrípeta
A força gravitacional que mantém as estrelas em órbita é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa de cada estrela, -
é a distância entre as estrelas.
Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular das estrelas:
onde:
-
é a velocidade orbital, -
é o raio da órbita.
Como
, onde
é o período orbital, podemos substituir na equação da força centrípeta:
Passo 4
Igualando Forças e Isolando o Período Orbital
Igualamos a força gravitacional à força centrípeta:
Simplificamos cancelando
de ambos os lados:
Como
, substituímos:
Isolando
:
Portanto, o período orbital é:
Passo 5
Calculando o Período Orbital
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Primeiro, calculamos o numerador:
Em seguida, o denominador:
Dividindo numerador por denominador:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Convertendo para anos:
Resposta
O período de revolução das estrelas é aproximadamente 2,24 anos.
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