Se uma folha fina tem o formato de uma superfície e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto da folha for , então, a massa total da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação . Suponha que a densidade da folha é (unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma folha que tem a forma da superfície , que na verdade é a parte de cima de uma esfera de raio 1. A densidade dessa folha é constante, igual a 0,1 unidades de massa por unidade de área. Nosso objetivo é calcular a massa total dessa folha e encontrar o centro de massa dela. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a massa total da folha. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a superfície :
Como a densidade é constante ( ), podemos simplificar para:
Isso significa que a massa é 0,1 vezes a área da superfície .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a área da superfície , que é a metade superior da esfera de raio 1. A área de uma esfera completa é , então a área da metade é . Como , a área da nossa superfície é:

Passo 4

Com a área da superfície conhecida, podemos calcular a massa total:
Então, a massa total da folha é unidades de massa.

Passo 5

Agora vamos encontrar o centro de massa . Como a folha é simétrica em relação aos eixos e , sabemos que e .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo :

Passo 6

Precisamos calcular a integral . Como , e estamos na metade superior da esfera, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas, temos:
Como :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em :
Fazendo a substituição , , os limites ficam de para :
Agora, integramos em :
Multiplicando os resultados:

Passo 8

Voltando à expressão de :

Resposta

A massa total da folha é unidades de massa, e o centro de massa está localizado no ponto .

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Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .
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