Se uma folha fina tem o formato de uma superfície S e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto (x, y, z) da folha for rho(x, y, z), então, a massa total m da folha é
m=integral duplaS rho(x, y, z) d S
e o centro de massa da folha é o ponto (barx, bary, barz) dado por
barx=1m integral duplaS x rho(x, y, z) d S, bary=1m integral duplaS y rho(x, y, z) d S, barz=1m integral duplaS z rho(x, y, z) d S
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação z=raiz1-x^2-y^2. Suponha que a densidade da folha é rho(x, y, z)=0.1 (unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma folha que tem a forma da superfície , que na verdade é a parte de cima de uma esfera de raio 1. A densidade dessa folha é constante, igual a 0,1 unidades de massa por unidade de área. Nosso objetivo é calcular a massa total dessa folha e encontrar o centro de massa dela. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a massa total da folha. A massa m = integral duplaS rho(x, y, z) , dS é dada pela integral dupla da densidade m = 0,1 integral duplaS dS sobre a superfície :
Como a densidade é constante ( ), podemos simplificar para:
Isso significa que a massa é 0,1 vezes a área da superfície .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a área da superfície A = 2pi times 1^2 = 2pi , que é a metade superior da esfera de raio 1. A área de uma esfera completa é , então a área da metade é . Como , a área da nossa superfície é:

Passo 4

Com a área da superfície conhecida, podemos calcular a massa total:
m = 0,1 times 2pi = 0,2pi
Então, a massa total da folha é unidades de massa.

Passo 5

Agora vamos encontrar o centro de massa barz = 1m integral duplaS z rho(x, y, z) , dS . Como a folha é simétrica em relação aos eixos barz = 10,2pi times 0,1 integral duplaS z , dS = 0,10,2pi integral duplaS z , dS e , sabemos que e .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo :

Passo 6

Precisamos calcular a integral integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^pi/2 costheta times sintheta , dtheta , dphi . Como , e estamos na metade superior da esfera, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas, temos:
Como :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta :
- integral1^0 u , du = integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Fazendo a substituição integral0^2pi dphi = 2pi , integral duplaS z , dS = 2pi times 12 = pi , os limites ficam de para :
Agora, integramos em :
Multiplicando os resultados:

Passo 8

Voltando à expressão de barz = 0,10,2pi times pi = 0,1 pi0,2pi = 0,10,2 = 0,5 :

Resposta

A massa total da folha é unidades de massa, e o centro de massa está localizado no ponto .

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