Se uma folha fina tem o formato de uma superfície
e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto
da folha for
, então, a massa total
da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto
dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação
. Suponha que a densidade da folha é
(unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma folha que tem a forma da superfície
, que na verdade é a parte de cima de uma esfera de raio 1. A densidade dessa folha é constante, igual a 0,1 unidades de massa por unidade de área. Nosso objetivo é calcular a massa total dessa folha e encontrar o centro de massa dela. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a massa total da folha. A massa
é dada pela integral dupla da densidade
sobre a superfície
:
Como a densidade é constante (
), podemos simplificar para:
Isso significa que a massa é 0,1 vezes a área da superfície
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a área da superfície
, que é a metade superior da esfera de raio 1. A área de uma esfera completa é
, então a área da metade é
. Como
, a área
da nossa superfície é:
Passo 4
Com a área da superfície conhecida, podemos calcular a massa total:
Então, a massa total da folha é
unidades de massa.
Passo 5
Agora vamos encontrar o centro de massa
. Como a folha é simétrica em relação aos eixos
e
, sabemos que
e
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 6
Precisamos calcular a integral
. Como
, e estamos na metade superior da esfera, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas, temos:
Como
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em
:
Fazendo a substituição
,
, os limites ficam de
para
:
Agora, integramos em
:
Multiplicando os resultados:
Passo 8
Voltando à expressão de
:
Resposta
A massa total da folha é
unidades de massa, e o centro de massa está localizado no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e abaixo do plano
. Calcule a integral de superfície