Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: r(u, v) = (v * cos(u), v * sen(u), v), em que 0 <= v <= 4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície parametrizada pela função , onde . O conteúdo envolvido aqui é sobre superfícies parametrizadas no estudo de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar as equações paramétricas e identificar a forma geométrica que elas representam.

Passo 2

Vamos começar analisando cada componente da função parametrizada:
Aqui, e são os parâmetros que variam dentro dos limites dados.
Primeiro, observe que . Isso significa que o valor de está diretamente relacionado ao valor de .
Agora, vamos relacionar e com . Podemos expressar em termos de a partir da terceira equação:
Substituindo em e :
Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:
Essa é a equação padrão de um cone com vértice na origem. Portanto, a superfície parametrizada por representa um cone.

Passo 3

Para fazer um esboço dessa superfície, vamos considerar os limites dos parâmetros:
  • varia de 0 a 4, o que significa que o cone vai do vértice (quando ) até uma altura de .
  • varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência do cone.
Então, o esboço será um cone reto com vértice na origem e altura até .

Resposta

A superfície parametrizada por para é um cone reto com vértice na origem e altura até .

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