Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, em que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície parametrizada pela função
, onde
. O conteúdo envolvido aqui é sobre superfícies parametrizadas no estudo de geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar as equações paramétricas e identificar a forma geométrica que elas representam.
Passo 2
Vamos começar analisando cada componente da função parametrizada:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam dentro dos limites dados.
Primeiro, observe que
. Isso significa que o valor de
está diretamente relacionado ao valor de
.
Agora, vamos relacionar
e
com
. Podemos expressar
em termos de
a partir da terceira equação:
Substituindo
em
e
:
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Essa é a equação padrão de um cone com vértice na origem. Portanto, a superfície parametrizada por
representa um cone.
Passo 3
Para fazer um esboço dessa superfície, vamos considerar os limites dos parâmetros:
-
varia de 0 a 4, o que significa que o cone vai do vértice (quando ) até uma altura de . -
varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência do cone.
Então, o esboço será um cone reto com vértice na origem e altura até
.
Resposta
A superfície parametrizada por
para
é um cone reto com vértice na origem e altura até
.
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Se uma folha fina tem o formato de uma superfície
e se a densidade (massa por unidade de área) no ponto
da folha for
, então, a massa total
da folha é
e o centro de massa da folha é o ponto
dado por
Considere uma folha no formato da superfície dada pela equação
. Suponha que a densidade da folha é
(unidades de massa por unidade de área). Determine a massa total e o centro de massa dessa folha.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e abaixo do plano
. Calcule a integral de superfície
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a área de superfície de
.