Uma fonte injeta um elétron de velocidade
em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo
.
velocidade do elétron faz um ângulo
com a direção do campo magnético (Considere a massa do elétron
e sua carga
c) Determine o raio da trajetória circular da partícula e o passo das hélices.
c) Determine o raio da trajetória circular da partícula e o passo das hélices.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre um elétron que entra numa área com um campo magnético uniforme. A gente quer descobrir o raio da trajetória circular que ele vai seguir e quanto ele ‘sobe’ a cada volta, que chamamos de passo da hélice. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento de partículas carregadas em campos magnéticos, especificamente a força de Lorentz e o movimento helicoidal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando uma partícula carregada, como o elétron, se move em um campo magnético, ela sofre uma força chamada força de Lorentz. Essa força é perpendicular tanto à velocidade da partícula quanto ao campo magnético, fazendo com que a partícula se mova em uma trajetória curva.
Passo 3
A força de Lorentz é dada por:
Onde:
- $ q $ é a carga do elétron,
- $ \vec{v} $ é a velocidade do elétron,
- $ \vec{B} $ é o campo magnético.
Passo 4
Como a força é perpendicular à velocidade, ela não altera a componente da velocidade paralela ao campo magnético. Portanto, o movimento do elétron pode ser decomposto em duas partes:
- Movimento circular, por causa da componente perpendicular.
- Movimento retilíneo uniforme, por causa da componente paralela.
Passo 5
Vamos calcular as componentes da velocidade:
- A componente perpendicular é $ v_{\perp} = v \sin(\theta) $
- A componente paralela é $ v_{\parallel} = v \cos(\theta) $
Com $ v = 5 \times 10^{4} , \mathrm{m/s} $ e $ \theta = 30^{\circ} $.
Passo 6
O raio da trajetória circular é dado por:
Onde:
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ v_{\perp} $ é a componente da velocidade perpendicular ao campo,
- $ q $ é a carga do elétron,
- $ B $ é o módulo do campo magnético.
Passo 7
Vamos substituir os valores na fórmula do raio:
Então,
Passo 8
Calculando o raio:
Ou seja, $ r \approx 1,42 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $.
Passo 9
Agora, para encontrar o passo da hélice, que é a distância que o elétron ‘sobe’ em uma volta completa, usamos a componente da velocidade paralela:
Onde $ T $ é o período da rotação.
Passo 10
Primeiro, encontramos o período $ T $:
Substituindo os valores:
Passo 11
Agora, calculamos o passo:
Resposta
O raio da trajetória circular do elétron é aproximadamente $ 1,42 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $ e o passo das hélices é cerca de $ 1,55 \times 10^{-3} , \mathrm{m} $.