Uma fonte injeta um elétron de velocidade v=5 times 10^4 m / s em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B=10 mT. A velocidade do elétron faz um ângulo theta=30^circ com a direção do campo magnético (Considere a massa do elétron 9,1 times 10^-31 kg e sua carga 1,6 times 10^-19 C)
c) Determine o raio da trajetória circular da partícula e o passo das hélices.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre um elétron que entra numa área com um campo magnético uniforme. A gente quer descobrir o raio da trajetória circular que ele vai seguir e quanto ele ‘sobe’ a cada volta, que chamamos de passo da hélice. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento de partículas carregadas em campos magnéticos, especificamente a força de Lorentz e o movimento helicoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma partícula carregada, como o elétron, se move em um campo magnético, ela sofre uma força chamada força de Lorentz. Essa força é perpendicular tanto à velocidade da partícula quanto ao campo magnético, fazendo com que a partícula se mova em uma trajetória curva.

Passo 3

A força de Lorentz é dada por:
F = q v times B
Onde:
- $ q $ é a carga do elétron,
- $ \vec{v} $ é a velocidade do elétron,
- $ \vec{B} $ é o campo magnético.

Passo 4

Como a força é perpendicular à velocidade, ela não altera a componente da velocidade paralela ao campo magnético. Portanto, o movimento do elétron pode ser decomposto em duas partes:
  1. Movimento circular, por causa da componente perpendicular.
  2. Movimento retilíneo uniforme, por causa da componente paralela.

Passo 5

Vamos calcular as componentes da velocidade:
  • A componente perpendicular é $ v_{\perp} = v \sin(\theta) $
  • A componente paralela é $ v_{\parallel} = v \cos(\theta) $
    Com $ v = 5 \times 10^{4} , \mathrm{m/s} $ e $ \theta = 30^{\circ} $.

Passo 6

O raio da trajetória circular é dado por:
r = m vperpq B
Onde:
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ v_{\perp} $ é a componente da velocidade perpendicular ao campo,
- $ q $ é a carga do elétron,
- $ B $ é o módulo do campo magnético.

Passo 7

Vamos substituir os valores na fórmula do raio:
vperp = 5 times 10^4 times sin(30^circ) = 5 times 10^4 times 0,5 = 2,5 times 10^4 , m/s
Então,
r = 9,1 times 10^-31 times 2,5 times 10^41,6 times 10^-19 times 10 times 10^-3

Passo 8

Calculando o raio:
r = 9,1 times 10^-31 times 2,5 times 10^41,6 times 10^-19 times 10^-2
r = 2,275 times 10^-261,6 times 10^-21
r approx 1,42 times 10^-5 , m
Ou seja, $ r \approx 1,42 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $.

Passo 9

Agora, para encontrar o passo da hélice, que é a distância que o elétron ‘sobe’ em uma volta completa, usamos a componente da velocidade paralela:
Passo = vparal<=l times T
Onde $ T $ é o período da rotação.

Passo 10

Primeiro, encontramos o período $ T $:
T
Substituindo os valores:
T = 2pi rvperp
T = 2pi times 1,42 times 10^-52,5 times 10^4
T approx 8,92 times 10^-52,5 times 10^4

Passo 11

Agora, calculamos o passo:
Passo = vparal<=l times T = 5 times 10^4 times cos(30^circ) times 3,57 times 10^-9
cos(30^circ) = raiz32 approx 0,866
Passo = 5 times 10^4 times 0,866 times 3,57 times 10^-9
Passo approx 1,55 times 10^-3 , m

Resposta

O raio da trajetória circular do elétron é aproximadamente $ 1,42 \times 10^{-5} , \mathrm{m} $ e o passo das hélices é cerca de $ 1,55 \times 10^{-3} , \mathrm{m} $.

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