Uma fonte trifásica em equilfbrio alimenta três cargas. As cargas são
Carga 1: 20 kVA a 0,6 fp em atraso
Carga 2: 12 kW a 0,75 fp em atraso
Carga 3: desconhecida
A tensão de linha na carga é 208 V rms, a corrente de linha na fonte é 98,60 A rms e o fator de potência combinado na carga é 0,88 fp em atraso. Determine a carga desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma fonte trifásica equilibrada que alimenta três cargas. Já conhecemos duas delas:
  • Carga 1: 20 kVA com fator de potência (fp) de 0,6 em atraso.
  • Carga 2: 12 kW com fp de 0,75 em atraso.
A terceira carga é desconhecida e precisamos descobrir seus valores. Também nos são dadas:
  • Tensão de linha: 208 V rms.
  • Corrente de linha: 98,60 A rms.
  • Fator de potência combinado: 0,88 em atraso.
Vamos precisar trabalhar com conceitos de potência em sistemas trifásicos, incluindo potência aparente, ativa e reativa, além de usar fórmulas que relacionam tensão, corrente e fator de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência total fornecida pela fonte. Em sistemas trifásicos equilibrados, a potência total Stotal = raiz3 times Vlinha times Ilinha pode ser calculada usando a fórmula:
Stotal = raiz3 times 208 times 98,60 approx 35.464 VA ou 35,464 kVA
Onde:
  • é a tensão de linha (208 V).
  • é a corrente de linha (98,60 A).
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos considerar o fator de potência combinado da carga, que é 0,88 em atraso. O fator de potência (fp) relaciona a potência ativa ( fp = PS ) com a potência aparente ( Ptotal = Stotal times fp = 35,464 kVA times 0,88 approx 31,172 kW ):
Como o fator de potência é 0,88, podemos encontrar a potência ativa total:

Passo 4

Vamos agora calcular a potência ativa e reativa para as cargas conhecidas.
Para a Carga 1:
A potência aparente P1 = S1 times fp = 20 times 0,6 = 12 kW e fp=0,6. Então,
Q1 = raizS1^2 - P1^2 = raiz20^2 - 12^2 = raiz400 - 144 = raiz256 = 16 kVar
A potência reativa S2 = P2fp = 120,75 = 16 kVA pode ser calculada usando:
Q2 = raizS2^2 - P2^2 = raiz16^2 - 12^2 = raiz256 - 144 = raiz112 approx 10,583 kVar
Para a Carga 2:
Aqui, já temos e fp=0,75.
E a potência reativa :

Passo 5

Agora, podemos encontrar a potência ativa e reativa total das três cargas combinadas:
Ptotal = P1 + P2 + P3
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3
Já sabemos que 31,172 = 12 + 12 + P3 Rightarrow P3 = 31,172 - 24 = 7,172 kW , Stotal = 35,464 kVA, Ptotal = 31,172 kW e Qtotal = raiz35,464^2 - 31,172^2 approx raiz1254,6 - 971,5 approx raiz283,1 approx 16,83 kVar . Então:
Qtotal = 16 + 10,583 + Q3 Rightarrow 16,83 = 26,583 + Q3 Rightarrow Q3 = 16,83 - 26,583 = -9,753 kVar
Para a potência reativa total, usamos :
Como não foi fornecido o deslocamento angular da terceira carga, mas sabemos que o fator de potência combinado é em atraso, consideramos todas as cargas como atrasadas (indutivas).
Sabemos que :
Agora, somando e :
O valor negativo indica que a terceira carga tem potência reativa capacitiva.

Passo 6

Agora, temos a potência ativa e reativa da carga desconhecida:
P3 = 7,172 kW, Q3 = -9,753 kVar
Podemos calcular a potência aparente S3 = raizP3^2 + Q3^2 = raiz7,172^2 + (-9,753)^2 approx raiz51,47 + 95,09 approx raiz146,56 approx 12,11 kVA da carga 3:
fp3 = P3S3 = 7,17212,11 approx 0,593 (capacitivo)
E o fator de potência da carga 3:

Resposta

A carga desconhecida é de aproximadamente 7,172 kW com uma potência reativa de -9,753 kVar, resultando em uma potência aparente de 12,11 kVA e um fator de potência de aproximadamente 0,593 capacitivo.

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