Uma fonte trifásica em equilibrio serve as seguintes cargas:
Carga 1: 18 kVA a 0,8 fp em atraso
Carga 2: 10 kVA a 0,7 fp em avanço
Carga 3: 12 kVW a fp unitário
Carga 4: 16 kVA a 0,6 fp cm atraso
A tensão da carga é 208 V rms a 60 Hz e a impedância de linha é 0,02+j 0,04 Omega. Determine a tensão de linha e o fator de potência na fonte.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma fonte trifásica equilibrada que alimenta quatro cargas diferentes, cada uma com potência aparente (kVA) e fator de potência (fp) específico, alguns atrasados e outros adiantados. A tensão da carga é de 208 V RMS a 60 Hz, e a impedância da linha é . Precisamos determinar a tensão na fonte e o fator de potência na fonte. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos trifásicos, potência aparente, fator de potência, e cálculo de impedância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as potências de cada carga e seus respectivos fatores de potência. O fator de potência (fp) indica se a carga é indutiva (atraso) ou capacitiva (adiantamento). As potências das cargas são:
  • Carga 1: 18 kVA a 0,8 fp em atraso (indutiva)
  • Carga 2: 10 kVA a 0,7 fp em avanço (capacitiva)
  • Carga 3: 12 kVW a fp unitário (resistiva)
  • Carga 4: 16 kVA a 0,6 fp em atraso (indutiva)

Passo 3

Vamos converter cada carga para componentes reais § e reativos (Q). A potência aparente P1 = 18 times 0,8 = 14,4 , kW é dada por Q1 = 18 times raiz1 - 0,8^2 = 18 times 0,6 = 10,8 , kVAR (atraso) , onde:
  • P2 = 10 times 0,7 = 7,0 , kW
  • Q2 = 10 times raiz1 - 0,7^2 = 10 times 0,7141 approx 7,14 , kVAR (adiantamento, então Q = -7,14 , kVAR)
Considerando os sinais dos componentes reativos de acordo com o atraso (indutivo, positivo) e avanço (capacitivo, negativo):
Carga 1:
P3 = 12 times 1 = 12,0 , kW
Q3 = 12 times raiz1 - 1^2 = 0 , kVAR (fp unitário)
Carga 2:
P4 = 16 times 0,6 = 9,6 , kW
Q4 = 16 times raiz1 - 0,6^2 = 16 times 0,8 = 12,8 , kVAR (atraso) ã
Carga 3:
á
Carga 4:

Passo 4

Agora, vamos somar todas as potências reais e reativas para obter a potência total consumida pelas cargas:
Ptotal = P1 + P2 + P3 + P4 = 14,4 + 7,0 + 12,0 + 9,6 = 43,0 , kW
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 10,8 - 7,14 + 0 + 12,8 = 16,46 , kVAR

Passo 5

Com a potência total S = raiz3 times Vlinha times Ilinha^* , podemos calcular a corrente total na linha usando a relação:
Ilinha = Stotalraiz3 times Vlinha
Isolando a corrente:
Ilinha = 43 + j16,46raiz3 times 208
Substituindo os valores:
raiz3 times 208 approx 360 , V
Calculando o denominador:
Ilinha approx 43 + j16,46360 approx 0,119 + j0,046 , kA (ou 119 + j46 , A)
Então:

Passo 6

Agora, vamos considerar a impedância da linha De. A queda de tensão na linha ( De) é dada por:
(0,119 + j0,046) times (0,02 + j0,04) = 0,119 times 0,02 + 0,119 times j0,04 + j0,046 times 0,02 + j0,046 times j0,04
Calculando:
= 0,00238 + j0,00476 + j0,00092 - 0,00184
Primeiro, multiplicamos os números complexos:
= 0,00054 + j0,00568 , Omega
De
Multiplicando pela :

Passo 7

A tensão na fonte ( Vfonte = Vcarga + De) é a tensão na carga mais a queda de tensão na linha:
Vfonte approx 208 + (0,000935 + j0,009824) approx 208,000935 + j0,009824 , V
Como é muito pequeno comparado a , podemos considerar que . Porém, para maior precisão, somamos os componentes:
A magnitude permanece praticamente 208 V.

Passo 8

Para encontrar o fator de potência na fonte, precisamos calcular a potência aparente total na fonte e comparar com a potência real total. Porém, devido à impedância da linha, há uma perda de potência que afeta o fator de potência.
O fator de potência na fonte ( fpfonte = PtotalraizPtotal^2 + Qtotal^2 = 43raiz43^2 + 16,46^2 approx 43raiz1849 + 271 approx 43raiz2120 approx 4346,05 approx 0,935 ) é dado por:
Portanto, o fator de potência na fonte é aproximadamente 0,935, indicando um fp adiantado.

Resposta

A tensão na fonte é aproximadamente 208 V, e o fator de potência na fonte é 0,935 (fp adiantado).

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