Particle A, at rest, decays into particles B and C(A B+C).
(a) Find the energy of the outgoing particles, in terms of the various masses.
[ Answer: EB=mA^2+mB^2-mC^22 mA c^2]

Passo 1

Vamos resolver um problema onde a partícula está em repouso e decai em duas partículas, e ( ). O objetivo é encontrar a energia das partículas resultantes ( e ) em termos das massas envolvidas ( , , e ). Para isso, vamos utilizar os conceitos de conservação de energia e de momento, além das relações da relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, como a partícula pB = -pC está em repouso, seu momento inicial é zero. De acordo com a conservação do momento linear, o momento total antes e depois da decaimento deve ser o mesmo. Portanto, os momentos das partículas e devem ser iguais em magnitude e opostos em direção:
Isso significa que as partículas e têm o mesmo módulo de momento, ou seja, .

Passo 3

Agora, aplicamos a conservação da energia. A energia total inicial da partícula EA = EB + EC deve ser igual à soma das energias das partículas EA = mA c^2 e E = raiz(p c)^2 + (m c^2)^2 :
EB = raiz(p c)^2 + (mB c^2)^2
Como EC = raiz(p c)^2 + (mC c^2)^2 está em repouso, sua energia é simplesmente a energia de repouso:
Para as partículas e , a energia total inclui a energia de repouso mais a energia cinética, que pode ser expressa pela relação da relatividade especial:
Portanto:

Passo 4

Substituímos mA c^2 = raiz(p c)^2 + (mB c^2)^2 + raiz(p c)^2 + (mC c^2)^2 e (mA c^2)^2 = ( raiz(p c)^2 + (mB c^2)^2 + raiz(p c)^2 + (mC c^2)^2 )^2 na equação da conservação da energia:
mA^2 c^4 = (p c)^2 + mB^2 c^4 + (p c)^2 + mC^2 c^4 + 2 raiz(p c)^2 + mB^2 c^4 raiz(p c)^2 + mC^2 c^4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
mA^2 c^4 = 2 (p c)^2 + mB^2 c^4 + mC^2 c^4 + 2 raiz[(p c)^2 + mB^2 c^4][(p c)^2 + mC^2 c^4]
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Este passo envolve resolver para , o que pode ser complexo. Em vez disso, podemos utilizar diretamente as relações de energia e momento para isolar .

Passo 5

Usamos a relação da energia no decaimento de duas partículas e isolamos EB = mA^2 + mB^2 - mC^22 mA c^2 . A expressão final obtida para a energia da partícula é:

Resposta

A energia da partícula EB = mA^2 + mB^2 - mC^22 mA c^2 é dada por

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