Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua no ponto (a, b) se:
- A função está definida em (a, b).
- O limite da função quando (x, y) se aproxima de (a, b) existe.
- Esse limite é igual ao valor da função em (a, b).
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em (0,0).
Passo 3
Vamos verificar se a função está definida em (0,0). Olhando a definição de
, vemos que sim:
Então, o primeiro requisito para continuidade está atendido.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso significa analisar:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
. Conforme (x, y) se aproxima de (0,0),
se aproxima de 0.
Então, o limite fica:
Passo 5
Sabemos, a partir do estudo de limites em uma variável, que:
Isso é um limite fundamental que aparece em muitos contextos de cálculo.
Passo 6
Voltando ao nosso limite original:
Passo 7
Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em (0,0):
Resposta
Como o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto, a função
é contínua no ponto (0,0).
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seguintes funções:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(h)
(h)
Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva
em
.