Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
c(x, y) = { sen(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) != (0,0) ; 1, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua no ponto (a, b) se:
  1. A função está definida em (a, b).
  2. O limite da função quando (x, y) se aproxima de (a, b) existe.
  3. Esse limite é igual ao valor da função em (a, b).
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em (0,0).

Passo 3

Vamos verificar se a função está definida em (0,0). Olhando a definição de , vemos que sim:
Então, o primeiro requisito para continuidade está atendido.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso significa analisar:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja . Conforme (x, y) se aproxima de (0,0), se aproxima de 0.
Então, o limite fica:

Passo 5

Sabemos, a partir do estudo de limites em uma variável, que:
Isso é um limite fundamental que aparece em muitos contextos de cálculo.

Passo 6

Voltando ao nosso limite original:

Passo 7

Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em (0,0):

Resposta

Como o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto, a função é contínua no ponto (0,0).

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