For vector function , verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by , and .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial definida em coordenadas cilíndricas. O objetivo aqui é verificar o teorema da divergência para a região cilíndrica delimitada por , e .
O teorema da divergência nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume. Para resolver isso, vamos precisar:
Calcular a divergência da função .
Calcular a integral de volume da divergência dentro da região dada.
Calcular o fluxo de através das superfícies que delimitam a região.
Verificar se os dois resultados são iguais, conforme o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial . Em coordenadas cilíndricas, a divergência de é dada por:
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:
Vamos calcular cada parte:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro da região cilindrica. Em coordenadas cilíndricas, a integral de volume é:
Explicando:
varia de 0 a 5
varia de 0 a
varia de 0 a 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Então, a integral de volume da divergência é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo de através das superfícies que delimitam a região cilíndrica. Essas superfícies são:
A base inferior (z = 0):
Vetor normal
Avaliando em :
Integral: 0
A base superior (z = 4):
Vetor normal
Avaliando em :
Área da base:
Fluxo:
A superfície lateral (r = 5):
Vetor normal
Avaliando em :
Área lateral:
Fluxo:
Somando todos os fluxos:
Base inferior: 0
Base superior:
Superfície lateral:
Total:
Resposta
Conferimos que a integral de volume da divergência é igual ao fluxo de através da superfície fechada:
Portanto, o teorema da divergência está verificado para a região cilíndrica dada.