For vector function A=ar r^2+az 2 z, verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by r=5, z=0, and z=4.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial definida em coordenadas cilíndricas. O objetivo aqui é verificar o teorema da divergência para a região cilíndrica delimitada por , e .
O teorema da divergência nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Calcular a divergência da função .
  2. Calcular a integral de volume da divergência dentro da região dada.
  3. Calcular o fluxo de através das superfícies que delimitam a região.
  4. Verificar se os dois resultados são iguais, conforme o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência da função vetorial nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Athetapartial theta + partial Azpartial z . Em coordenadas cilíndricas, a divergência de nabla cdot A = 1r partial (r cdot r^2)partial r + partial (2z)partial z é dada por:
nabla cdot A = 3r + 2
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:
Vamos calcular cada parte:
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro da região cilindrica. Em coordenadas cilíndricas, a integral de volume é:
integral triplaV (nabla cdot A) , dV = integral0^2pi integral0^5 integral0^4 (3r + 2) cdot r , dz , dr , dtheta
Explicando:
  • integral0^4 (3r + 2) , dz = (3r + 2) cdot z |0^4 = (3r + 2) cdot 4 = 12r + 8 varia de 0 a 5
  • integral0^5 (12r + 8) cdot r , dr = integral0^5 (12r^2 + 8r) , dr = (4r^3 + 4r^2) |0^5 = 4(125) + 4(25) = 500 + 100 = 600 varia de 0 a integral0^2pi 600 , dtheta = 600 cdot 2pi = 1200pi
  • varia de 0 a 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Então, a integral de volume da divergência é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo de através das superfícies que delimitam a região cilíndrica. Essas superfícies são:
  1. A base inferior (z = 0):
    • Vetor normal
    • Avaliando em :
    • Integral: 0
  2. A base superior (z = 4):
    • Vetor normal
    • Avaliando em :
    • Área da base:
    • Fluxo:
  3. A superfície lateral (r = 5):
    • Vetor normal
    • Avaliando em :
    • Área lateral:
    • Fluxo:
  4. Somando todos os fluxos:
    • Base inferior: 0
    • Base superior:
    • Superfície lateral:
    • Total:

Resposta

Conferimos que a integral de volume da divergência 1200pi = 1200pi é igual ao fluxo de através da superfície fechada:
Portanto, o teorema da divergência está verificado para a região cilíndrica dada.

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