A single degree of freedom damped spring mass system has a weight of
, spring stiffness of
, and damping coefficient of
s/in is subjected to a harmonic force
sin 12.692t lb. The initial conditions are given as
in and
. Obtain an equation that describes the displacement of the mass as a function of time.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola amortecido forçado. A gente tem uma mola com constante elástica, um peso, um coeficiente de amortecimento e uma força harmônica atuando sobre o sistema. Precisamos encontrar a equação que descreve o deslocamento da massa em função do tempo. Para isso, vamos usar a teoria de sistemas massa-mola amortecidos e resolver a equação diferencial que descreve o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados do problema:
- Peso (W) = 20 lb
- Constante da mola (k) = 50 lb/in
- Coeficiente de amortecimento © = 3.94 lb·s/in
- Força harmônica (F) = 100 sin(12.692 t) lb
- Condições iniciais: x(0) = 1.5 in e ẋ(0) = 0
Passo 3
Vamos converter o peso para massa. Sabemos que
, mas aqui estamos usando unidades de libra-força e polegadas, então trabalharemos diretamente com as forças dadas.
Passo 4
A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido forçado é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a for��a externa aplicada.
Passo 5
Vamos isolar a massa
. Sabemos que
lb e
. Usando
in/s² (aceleração da gravidade em polegadas por segundo ao quadrado):
Passo 6
Substituindo os valores na equação do movimento:
Passo 7
Simplificando a equação dividindo todos os termos por 0.0517:
Calculando os coeficientes:
Passo 8
Agora, identificamos a equação diferencial característica associada à equação homogênea:
Resolvendo a equação característica:
Calculando as raízes
:
Passo 9
Como temos raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar a solução particular
da equação completa. Como a força externa é uma senoide, suponhamos uma solução particular da forma:
Passo 11
Derivamos
:
Passo 12
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 13
Agrupando os termos de
e
:
Passo 14
Igualando os coeficientes:
Passo 15
Calculando os valores numéricos:
Simplificando:
Passo 16
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
Passo 17
Portanto, a solução particular é:
Passo 18
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 19
Usando as condições iniciais para encontrar
e
:
Quando
:
Derivando
:
Quando
:
Passo 20
Resolvendo o sistema das equações (3) e (4):
De (3):
Substituindo em (4):
Então,
Resposta
A equação que descreve o deslocamento da massa em função do tempo é: