A single degree of freedom damped spring mass system has a weight of 20 lb, spring stiffness of 50 lb / in, and damping coefficient of 3.94 lb s/in is subjected to a harmonic force F=100 sin 12.692t lb. The initial conditions are given as x(0)=1.5 in and dotx(0)=0. Obtain an equation that describes the displacement of the mass as a function of time.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola amortecido forçado. A gente tem uma mola com constante elástica, um peso, um coeficiente de amortecimento e uma força harmônica atuando sobre o sistema. Precisamos encontrar a equação que descreve o deslocamento da massa em função do tempo. Para isso, vamos usar a teoria de sistemas massa-mola amortecidos e resolver a equação diferencial que descreve o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados do problema:
  • Peso (W) = 20 lb
  • Constante da mola (k) = 50 lb/in
  • Coeficiente de amortecimento © = 3.94 lb·s/in
  • Força harmônica (F) = 100 sin(12.692 t) lb
  • Condições iniciais: x(0) = 1.5 in e ẋ(0) = 0

Passo 3

Vamos converter o peso para massa. Sabemos que , mas aqui estamos usando unidades de libra-força e polegadas, então trabalharemos diretamente com as forças dadas.

Passo 4

A equação do movimento para um sistema massa-mola amortecido forçado é dada por:
m ddotx + c dotx + k x = F(t)
Onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a constante da mola,
  • é a for��a externa aplicada.

Passo 5

Vamos isolar a massa m = Wg = 20386 approx 0.0517 , slugs . Sabemos que lb e . Usando in/s² (aceleração da gravidade em polegadas por segundo ao quadrado):

Passo 6

Substituindo os valores na equação do movimento:
0.0517 ddotx + 3.94 dotx + 50 x = 100 sin(12.692 t)

Passo 7

Simplificando a equação dividindo todos os termos por 0.0517:
ddotx + 3.940.0517 dotx + 500.0517 x = 1000.0517 sin(12.692 t)
Calculando os coeficientes:
ddotx + 76.21 dotx + 966.34 x = 1933.87 sin(12.692 t)

Passo 8

Agora, identificamos a equação diferencial característica associada à equação homogênea:
ddotx + 76.21 dotx + 966.34 x = 0
Resolvendo a equação característica:
r^2 + 76.21 r + 966.34 = 0
Calculando as raízes r = -76.21 pm raiz(76.21)^2 - 4 cdot 966.342 :
r = -76.21 pm raiz5800.04 - 3865.362 = -76.21 pm raiz1934.682
r = -76.21 pm 43.982
r1 = -76.21 + 43.982 approx -16.12 e r2 = -76.21 - 43.982 approx -60.10

Passo 9

Como temos raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^-16.12 t + C2 e^-60.10 t

Passo 10

Agora, precisamos encontrar a solução particular xp(t) = A sin(12.692 t) + B cos(12.692 t) da equação completa. Como a força externa é uma senoide, suponhamos uma solução particular da forma:

Passo 11

Derivamos dotxp(t) = 12.692 A cos(12.692 t) - 12.692 B sin(12.692 t) :
ddotxp(t) = - (12.692)^2 A sin(12.692 t) - (12.692)^2 B cos(12.692 t)

Passo 12

Substituindo - (12.692)^2 A sin(12.692 t) - (12.692)^2 B cos(12.692 t) + 76.21 cdot [12.692 A cos(12.692 t) - 12.692 B sin(12.692 t)] + 966.34 [A sin(12.692 t) + B cos(12.692 t)] = 1933.87 sin(12.692 t) , e na equação diferencial:

Passo 13

Agrupando os termos de [ - (12.692)^2 A - 76.21 cdot 12.692 B + 966.34 A ] sin(12.692 t) + [ - (12.692)^2 B + 76.21 cdot 12.692 A + 966.34 B ] cos(12.692 t) = 1933.87 sin(12.692 t) e :

Passo 14

Igualando os coeficientes:
- (12.692)^2 A - 76.21 cdot 12.692 B + 966.34 A = 1933.87
- (12.692)^2 B + 76.21 cdot 12.692 A + 966.34 B = 0

Passo 15

Calculando os valores numéricos:
-161.44 A - 966.34 B + 966.34 A = 1933.87
-161.44 B + 966.34 A + 966.34 B = 0
Simplificando:
804.90 A - 966.34 B = 1933.87 (1)
966.34 A + 804.90 B = 0 (2)

Passo 16

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
966.34 A = -804.90 B Rightarrow A = -804.90966.34 B approx -0.832 B
Substituindo na equação (1):
804.90 (-0.832 B) - 966.34 B = 1933.87
-669.98 B - 966.34 B = 1933.87
-1636.32 B = 1933.87 Rightarrow B approx -1.183
Então,
A approx -0.832 times (-1.183) approx 0.986

Passo 17

Portanto, a solução particular é:
xp(t) = 0.986 sin(12.692 t) - 1.183 cos(12.692 t)

Passo 18

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^-16.12 t + C2 e^-60.10 t + 0.986 sin(12.692 t) - 1.183 cos(12.692 t)

Passo 19

Usando as condições iniciais para encontrar x(0) = C1 + C2 - 1.183 = 1.5 Rightarrow C1 + C2 = 2.683 (3) e dotx(t) = -16.12 C1 e^-16.12 t -60.10 C2 e^-60.10 t + 0.986 times 12.692 cos(12.692 t) + 1.183 times 12.692 sin(12.692 t) :
Quando dotx(0) = -16.12 C1 -60.10 C2 + 12.54 + 0 = 0 Rightarrow -16.12 C1 -60.10 C2 = -12.54 (4) :
Derivando :
Quando :

Passo 20

Resolvendo o sistema das equações (3) e (4):
De (3): -16.12 (2.683 - C2) -60.10 C2 = -12.54
Substituindo em (4):
-43.16 + 16.12 C2 -60.10 C2 = -12.54
-43.16 -43.98 C2 = -12.54
-43.98 C2 = 30.62 Rightarrow C2 approx -0.696
C1 = 2.683 - (-0.696) = 3.379
Então,

Resposta

A equação que descreve o deslocamento da massa em função do tempo é:
x(t) = 3.379 , e^-16.12 t - 0.696 , e^-60.10 t + 0.986 sin(12.692 t) - 1.183 cos(12.692 t)

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