For the vector function
given in Example
(page 41) evaluate
over the volume specified in that example. Explain why the divergence theorem fails here.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial
e precisamos calcular a integral do divergente dessa função
sobre um volume específico mencionado no exemplo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o divergente e o teorema da divergência. Vamos precisar também entender como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. Em coordenadas cilíndricas, se tivermos
, o divergente é dado por:
No nosso caso, não tem componente
na função
, ou seja,
. Então, simplificando:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos integrar esse divergente sobre o volume especificado. Vamos assumir que o volume é um cilindro com raio
e altura
, já que é comum em exemplos semelhantes.
A integral fica:
Como
é uma constante, podemos tirá-lo da integral:
O volume de um cilindro é dado por:
Então,
Resposta
A integral do divergente de
sobre o volume é
. O teorema da divergência não funciona nesse caso porque o campo
tem uma singularidade em
(no eixo
), ou seja, ele não é definido de forma contínua em todo o volume. Essa descontinuidade impede a aplicação direta do teorema da divergência.