For the vector function F=ar k1 / r+az k2 z given in Example 2-15 (page 41) evaluate integral nabla cdot F d v over the volume specified in that example. Explain why the divergence theorem fails here.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e precisamos calcular a integral do divergente dessa função sobre um volume específico mencionado no exemplo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o divergente e o teorema da divergência. Vamos precisar também entender como calcular o divergente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de nabla cdot F = 1r partial (r Fr)partial r + 1r partial Fthetapartial theta + partial Fzpartial z . Em coordenadas cilíndricas, se tivermos nabla cdot F = 1r partial (r cdot k1r)partial r + partial (k2 z)partial z , o divergente é dado por:
1r partial (k1)partial r = 1r cdot 0 = 0
No nosso caso, não tem componente partial (k2 z)partial z = k2 na função nabla cdot F = 0 + k2 = k2 , ou seja, . Então, simplificando:
Calculando cada termo:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos integrar esse divergente sobre o volume especificado. Vamos assumir que o volume é um cilindro com raio integral (nabla cdot F) , dV = integral k2 , dV e altura k2 integral dV = k2 cdot Volume , já que é comum em exemplos semelhantes.
A integral fica:
Volume = pi R^2 H
Como integral (nabla cdot F) , dV = k2 pi R^2 H é uma constante, podemos tirá-lo da integral:
O volume de um cilindro é dado por:
Então,

Resposta

A integral do divergente de sobre o volume é . O teorema da divergência não funciona nesse caso porque o campo tem uma singularidade em (no eixo ), ou seja, ele não é definido de forma contínua em todo o volume. Essa descontinuidade impede a aplicação direta do teorema da divergência.

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