The equation in space of a plane containing the point (x1, y1, z1) can be written as
ell(x-x1)+m(y-y1)+p(z-z1)=0
where ell, m, and p are direction cosines of a unit normal to the plane:
an=ax ell+ay m+az p
Given a vector field F=ax+ay 2+az 3, evaluate the integral integralS F cdot d d s over the square plane surface whose corners are at (0,0,2),(2,0,2),(2,2,0), and (0,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de superfície do campo vetorial F = ax + 2ay + 3az sobre um plano quadrado cujos cantos estão nos pontos (0,0,2), (2,0,2), (2,2,0) e (0,2,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma do plano onde a integral será calculada. Observando os pontos dados, percebemos que o plano liga (0,0,2) a (2,0,2) e a (2,2,0), formando um quadrado inclinado no espaço.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície. Podemos usar dois parâmetros, digamos u e v, para representar qualquer ponto na superfície. Observando os pontos, podemos definir:
x = u
y = v
z = 2 - v
onde u varia de 0 a 2 e v também varia de 0 a 2.

Passo 4

Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais em relação a u e v:
partial rpartial u = ax
partial rpartial v = ay - az
O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = partial rpartial u times partial rpartial v = ax & ay & az 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 = ax(0 - (-1)) - ay( -1 -0) + az(1 -0) = ax(1) + ay(1) + az(1) = ax + ay + az

Passo 5

O elemento de área vetorial dS é dado por:
dS = n , du , dv = (ax + ay + az) , du , dv

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar entre o campo vetorial F e dS:
F cdot dS = (ax + 2ay + 3az) cdot (ax + ay + az) , du , dv = (1 cdot 1) + (2 cdot 1) + (3 cdot 1) = 1 + 2 + 3 = 6 , du , dv

Passo 7

Finalmente, integramos sobre os limites de u e v, que vão de 0 a 2:
integral0^2 integral0^2 6 , du , dv = 6 integral0^2 ( integral0^2 du ) dv = 6 integral0^2 (2) , dv = 6 times 2 times 2 = 24

Resposta

A integral integralS F cdot d S vale 24.

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