The equation in space of a plane containing the point can be written as
where , and are direction cosines of a unit normal to the plane:
Given a vector field , evaluate the integral over the square plane surface whose corners are at , and .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de superfície do campo vetorial sobre um plano quadrado cujos cantos estão nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a forma do plano onde a integral será calculada. Observando os pontos dados, percebemos que o plano liga a e a , formando um quadrado inclinado no espaço.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície. Podemos usar dois parâmetros, digamos e , para representar qualquer ponto na superfície. Observando os pontos, podemos definir:
onde varia de a e também varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície para encontrar o vetor normal. Calculamos as derivadas parciais em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 5
O elemento de área vetorial dS é dado por:
dS = n , du , dv = (ax + ay + az) , du , dv
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar entre o campo vetorial F e dS:
F cdot dS = (ax + 2ay + 3az) cdot (ax + ay + az) , du , dv = (1 cdot 1) + (2 cdot 1) + (3 cdot 1) = 1 + 2 + 3 = 6 , du , dv
Passo 7
Finalmente, integramos sobre os limites de u e v, que vão de 0 a 2:
integral0^2 integral0^2 6 , du , dv = 6 integral0^2 ( integral0^2 du ) dv = 6 integral0^2 (2) , dv = 6 times 2 times 2 = 24