Foram retiradas amostras de duas máquinas diferentes, produtoras de cavilhas. Da máquina A, foram retiradas 200 peças, das quais 19 apresentaram cavilhas defeituosas, e da máquina B, foram retiradas 100 peças, das quais 5 apresentaram defeitos. Testando a hipótese de a máquina B ter padrão de qualidade superior ao da máquina A, com 5% de significância, chega-se à conclusão de que:
a) teste unilateral indica que a máquina B não tem padrão de qualidade superior ao da máquina A nesse nível de significância. Valores críticos: diferença de 4,03% a favor da máquina B.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos duas máquinas, A e B, que produzem cavilhas. Queremos saber se a máquina B tem um padrão de qualidade melhor que a máquina A. Para isso, vamos comparar a proporção de defeitos nas duas máquinas usando um teste de hipótese com nível de significância de 5%. Precisamos usar conhecimentos de estatística, especificamente sobre testes para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as proporções de defeitos em cada máquina. Na máquina A, foram retiradas 200 peças, das quais 19 são defeituosas. Já na máquina B, foram retiradas 100 peças, com 5 defeituosas.
Calculando as proporções:
  • Proporção A ( pA): 19200 = 0,095 ou 9,5%
  • Proporção B ( pB): 5100 = 0,05 ou 5%

Passo 3

Nossa hipótese nula ( H0) é que as proporções de defeitos das duas máquinas são iguais, ou seja, pA = pB. A hipótese alternativa ( H1) é que a máquina B tem uma proporção de defeitos menor que a máquina A, ou seja, pB < pA. Esse é um teste unilateral porque estamos verificando apenas uma direção (se B é melhor que A).

Passo 4

Para comparar as duas proporções, utilizamos a fórmula do teste para duas proporções:
Z = (pA - pB)raizp(1 - p) (1nA + 1nB)
Onde:
  • p = xA + xBnA + nB é a proporção combinada.
  • xA e xB são o número de defeitos nas máquinas A e B, respectivamente.
  • nA e nB são os tamanhos das amostras.

Passo 5

Calculando a proporção combinada ( p):
p = 19 + 5200 + 100 = 24300 = 0,08 ou 8%

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do Z:
Z = 0,095 - 0,05raiz0,08 times (1 - 0,08) (1200 + 1100) = 0,045raiz0,08 times 0,92 times 0,015 = 0,045raiz0,001104 approx 0,0450,0332 approx 1,36

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste unilateral com nível de significância de 5%. Consultando a tabela Z, o valor crítico para 5% é aproximadamente 1,645.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de Z com o valor crítico:
  • Se Z > 1,645, rejeitamos H0 a favor de H1.
  • Se Z <= 1,645, não rejeitamos H0.
No nosso caso, Z approx 1,36 é menor que 1,645. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

O teste unilateral indica que a máquina B não tem padrão de qualidade superior ao da máquina A com nível de significância de 5%. O valor crítico é uma diferença de 4,03% a favor da máquina B.

Exercícios relacionados