A força atuando em uma partícula de massa
é dada por
em que
é uma constante positiva. A partícula passa pela origem com velocidade
no instante
. Encontre
como uma função do tempo
.
Passo 1
Então, o que temos aqui? A questão fala sobre uma força que age sobre uma partícula de massa
. A força é dada por
, onde
é uma constante positiva,
é a velocidade da partícula, e
é a posição. A partícula passa pela origem (
) com uma velocidade inicial
no tempo
. Nosso objetivo é encontrar
em função do tempo
.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e também vamos precisar resolver uma equação diferencial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz:
onde
é a força,
é a massa, e
é a aceleração da partícula.
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Sabemos que a força
também é dada por
. Então, igualando as duas expressões para a força, temos:
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
. Substituindo isso na equação, ficamos com:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para
.
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Essa equação pode parecer complicada, mas podemos tentar separar as variáveis ou usar métodos de integração apropriados.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar a integração:
Integrando ambos os lados, temos:
Simplificando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar
, usamos a condição inicial. No tempo
, a partícula está na origem (
) com velocidade
:
Então, a equação fica:
Passo 8
Agora, separamos as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados, obtemos:
A integral do lado esquerdo envolve uma função hiperbólica ou uma substituição trigonométrica, dependendo do método escolhido.
Passo 9
Após resolver a integral, encontramos uma relação entre
e
. Finalmente, isolamos
para obter a posição em função do tempo. O resultado final é:
onde
é a função seno hiperbólico.
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é dada por: