A força atuando em uma partícula de massa m é dada por
F=k v x
em que k é uma constante positiva. A partícula passa pela origem com velocidade v0 no instante t=0. Encontre x como uma função do tempo t.

Passo 1

Então, o que temos aqui? A questão fala sobre uma força que age sobre uma partícula de massa . A força é dada por , onde é uma constante positiva, é a velocidade da partícula, e é a posição. A partícula passa pela origem ( ) com uma velocidade inicial no tempo . Nosso objetivo é encontrar em função do tempo .
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e também vamos precisar resolver uma equação diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz:
F = m , a
onde F = m , dvdt é a força, é a massa, e é a aceleração da partícula.
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Sabemos que a força m , dvdt = k , v , x também é dada por . Então, igualando as duas expressões para a força, temos:

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos expressar m , d^2xdt^2 = k , dxdt , x em termos de . Sabemos que . Substituindo isso na equação, ficamos com:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para .

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por d^2xdt^2 = km , x , dxdt :
Essa equação pode parecer complicada, mas podemos tentar separar as variáveis ou usar métodos de integração apropriados.

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por d^2x = km , x , dx para facilitar a integração:
integral d^2x = integral km , x , dx
Integrando ambos os lados, temos:
12 ( dxdt )^2 = k2m , x^2 + C
Simplificando as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para dxdt = raiz km , x^2 + C :
v0 = raiz km cdot 0^2 + C Rightarrow C = v0^2
Para encontrar dxdt = raiz km , x^2 + v0^2 , usamos a condição inicial. No tempo , a partícula está na origem ( ) com velocidade :
Então, a equação fica:

Passo 8

Agora, separamos as variáveis para integrar:
dxraiz km , x^2 + v0^2 = dt
Integrando ambos os lados, obtemos:
integral dxraiz km , x^2 + v0^2 = integral dt
A integral do lado esquerdo envolve uma função hiperbólica ou uma substituição trigonométrica, dependendo do método escolhido.

Passo 9

Após resolver a integral, encontramos uma relação entre x(t) = v0raiz km sinh( raiz km , t ) e . Finalmente, isolamos para obter a posição em função do tempo. O resultado final é:
onde é a função seno hiperbólico.

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = v0raiz km sinh( raiz km , t )

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