Uma massa m move-se ao longo do eixo x sujeita a uma força atrativa dada por 17 beta^2 m x / 2 e uma força de resistência dada por 3 beta m dotx, onde x é a sua distância a partir da origem e beta é uma constante. Uma força de excitação dada por m A cos (omega t), onde A é uma constante, é aplicada à partícula ao longo do eixo x.
(a) Qual valor de omega resulta em oscilações em estado estacionário em torno da origem com amplitude máxima?
(b) Qual é a amplitude máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma massa que se move ao longo do eixo e está sujeita a três forças diferentes: uma força atrativa, uma força de resistência e uma força de excitação. O objetivo aqui é descobrir qual frequência faz com que as oscilações ao redor da origem tenham a maior amplitude possível e, depois, calcular essa amplitude máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre oscilações forçadas com amortecimento e aplicar um pouco de matemática para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação de movimento para a massa m ddotx = -17 beta^2 m x2 e - 3 beta m dotx + m A cos(omega t) . Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração. As forças atuantes são:
  • Força atrativa: çã (negativa porque é atrativa, ou seja, puxa para a origem)
  • Força de resistência: ê (também negativa por ser uma força de resistência)
  • Força de excitação: çã
Então, a soma dessas forças é igual à massa vezes a aceleração:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por ddotx + 3 beta dotx + 17 beta^22 e x = A cos(omega t) :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, representando um sistema de oscilações forçadas com amortecimento.

Passo 4

Para encontrar a frequência omega0 = raiz17 beta^22 e que gera a amplitude máxima nas oscilações em estado estacionário, precisamos determinar a frequência de ressonância do sistema. A ressonância ocorre quando a frequência da força de excitação é igual à frequência natural do sistema ajustada pelo amortecimento.
A frequência natural c = 3 beta do sistema é dada por:
omegares = raizomega0^2 - (c2)^2 = raiz17 beta^22 e - (3 beta2)^2
O amortecimento omegares = beta raiz172 e - 94 = beta raiz344 e - 94 = beta raiz34 - 9 e4 e é:
A frequência de ressonância para um sistema com amortecimento é:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos a frequência de ressonância, vamos calcular a amplitude máxima X(omega) = Araiz(17 beta^22 e - omega^2)^2 + (3 beta omega)^2 . A amplitude em estado estacionário para um sistema forçado é dada por:
Xmax = Araiz(17 beta^22 e - omegares^2)^2 + (3 beta omegares)^2
Na frequência de ressonância, Xmax = Araiz(17 beta^22 e - (17 beta^22 e - 9 beta^24))^2 + (3 beta raiz17 beta^22 e - 9 beta^24)^2 , então substituímos:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da raiz, chegamos ao valor final da amplitude máxima.

Resposta

(a) A frequência omega = beta raiz34 - 9 e4 e que resulta em oscilações em estado estacionário com amplitude máxima é:
Xmax = Araiz(17 beta^22 e - 34 - 9 e4 e)^2 + (3 beta raiz34 - 9 e4 e)^2
(b) A amplitude máxima é dada por:

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