Uma massa
move-se ao longo do eixo
sujeita a uma força atrativa dada por
uma força de resistência dada por
, onde
é a sua distância a partir da origem e
é uma constante. Uma força de excitação dada por
, onde
é uma constante, é aplicada à partícula ao longo do eixo
.
(a) Qual valor de
resulta em oscilações em estado estacionário em torno da origem com amplitude máxima?
(b) Qual é a amplitude máxima?
(a) Qual valor de
(b) Qual é a amplitude máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma massa
que se move ao longo do eixo
e está sujeita a três forças diferentes: uma força atrativa, uma força de resistência e uma força de excitação. O objetivo aqui é descobrir qual frequência
faz com que as oscilações ao redor da origem tenham a maior amplitude possível e, depois, calcular essa amplitude máxima. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre oscilações forçadas com amortecimento e aplicar um pouco de matemática para encontrar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação de movimento para a massa
. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração. As forças atuantes são:
- Força atrativa:
(negativa porque é atrativa, ou seja, puxa para a origem) - Força de resistência:
(também negativa por ser uma força de resistência) - Força de excitação:
Então, a soma dessas forças é igual à massa vezes a aceleração:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, representando um sistema de oscilações forçadas com amortecimento.
Passo 4
Para encontrar a frequência
que gera a amplitude máxima nas oscilações em estado estacionário, precisamos determinar a frequência de ressonância do sistema. A ressonância ocorre quando a frequência da força de excitação é igual à frequência natural do sistema ajustada pelo amortecimento.
A frequência natural
do sistema é dada por:
O amortecimento
é:
A frequência de ressonância
para um sistema com amortecimento é:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos a frequência de ressonância, vamos calcular a amplitude máxima
. A amplitude em estado estacionário para um sistema forçado é dada por:
Na frequência de ressonância,
, então substituímos:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da raiz, chegamos ao valor final da amplitude máxima.
Resposta
(a) A frequência
que resulta em oscilações em estado estacionário com amplitude máxima é:
(b) A amplitude máxima
é dada por:
Exercícios relacionados
Um tiro é disparado para cima. Assumindo que a resistência do ar sobre a bala varia quadraticamente com a velocidade, mostre que a velocidade varia com a altura de acordo com as equações:
em que
e
são constantes de integração,
é a aceleração da gravidade, e
, onde
é a constante de resistência e
é a massa da bala. (Nota:
é medido positivamente para cima, e a força gravitacional é assumida como constante.)
11
Determine a intensidade do momento da força de 200 N em relação ao eixo O.
Determine a intensidade do momento da força de 200 N em relação ao eixo O.
A força atuando em uma partícula de massa
é dada por
em que
é uma constante positiva. A partícula passa pela origem com velocidade
no instante
. Encontre
como uma função do tempo
.
O poste é feito de madeira Douglas fir e tem diâmetro de 100 mm . Determine a força
necessária na parte inferior para o equilíbrio, se o poste estiver sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar uma resistência de atrito distribuída que varia linearmente de
em
em
ao longo do seu comprimento. Além disso, qual é o deslocamento do topo
do poste em relação à sua parte inferior
? Ignore o peso do poste.