Um tiro é disparado para cima. Assumindo que a resistência do ar sobre a bala varia quadraticamente com a velocidade, mostre que a velocidade varia com a altura de acordo com as equações:
em que
e
são constantes de integração,
é a aceleração da gravidade, e
, onde
é a constante de resistência e
é a massa da bala. (Nota:
é medido positivamente para cima, e a força gravitacional é assumida como constante.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento de um tiro para cima, considerando a resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade. O objetivo é mostrar como a velocidade da bala varia com a altura usando as equações fornecidas. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis do movimento com resistência do ar e usar um pouco de cálculo, especialmente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui,
é a aceleração da bala.
Passo 3
No nosso caso, a bala está sujeita a duas forças: a força gravitacional para baixo, que é
, e a resistência do ar, que depende da velocidade. A resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade pode ser escrita como:
O sinal negativo indica que a resistência do ar sempre age na direção oposta ao movimento.
Passo 4
Então, a força resultante quando a bala está subindo (movimento para cima) é:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 5
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como queremos a relação entre velocidade e altura, vamos usar a relação
, onde
é a altura. Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Aqui, definimos
, então a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizando a equação:
Essa é uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar a relação entre
e
.
Passo 8
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 9
Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma substituição simples. Deixe
, assim
, ou seja,
. Substituindo:
Substituindo
de volta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Onde
.
Passo 11
Expontenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui,
é uma nova constante.
Passo 12
Agora, isolamos
:
Podemos redefinir
como uma nova constante
:
Essa é a equação para o movimento para cima.
Passo 13
Para o movimento para baixo, a resistência do ar tem o sinal oposto, já que a velocidade é negativa. Repetindo os passos anteriores, chegamos a uma equação similar, mas com um sinal diferente na exponencial:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
Assim, mostramos que a velocidade da bala varia com a altura de acordo com as equações:
onde
e
são constantes de integração,
é a aceleração da gravidade, e
.
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11
Determine a intensidade do momento da força de 200 N em relação ao eixo O.
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O reservatório da questão 5 deve trabalhar com um coeficiente de segurança mínimo de 1,6 para os carregamentos dados. Nessas condições e admitindo-se o critério de Tresca, qual deve ser a tensão mínima de escoamento à tração uniaxial do aço?
Uma massa
move-se ao longo do eixo
sujeita a uma força atrativa dada por
uma força de resistência dada por
, onde
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, onde
é uma constante, é aplicada à partícula ao longo do eixo
.
(a) Qual valor de resulta em oscilações em estado estacionário em torno da origem com amplitude máxima?
(b) Qual é a amplitude máxima?
(a) Qual valor de
(b) Qual é a amplitude máxima?
A força atuando em uma partícula de massa
é dada por
em que
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no instante
. Encontre
como uma função do tempo
.