Um tiro é disparado para cima. Assumindo que a resistência do ar sobre a bala varia quadraticamente com a velocidade, mostre que a velocidade varia com a altura de acordo com as equações:
em que e são constantes de integração, é a aceleração da gravidade, e , onde é a constante de resistência e é a massa da bala. (Nota: é medido positivamente para cima, e a força gravitacional é assumida como constante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento de um tiro para cima, considerando a resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade. O objetivo é mostrar como a velocidade da bala varia com a altura usando as equações fornecidas. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis do movimento com resistência do ar e usar um pouco de cálculo, especialmente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, é a aceleração da bala.

Passo 3

No nosso caso, a bala está sujeita a duas forças: a força gravitacional para baixo, que é , e a resistência do ar, que depende da velocidade. A resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade pode ser escrita como:
O sinal negativo indica que a resistência do ar sempre age na direção oposta ao movimento.

Passo 4

Então, a força resultante quando a bala está subindo (movimento para cima) é:
Aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 5

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como queremos a relação entre velocidade e altura, vamos usar a relação , onde é a altura. Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar dividindo ambos os lados por :
Aqui, definimos , então a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizando a equação:
Essa é uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar a relação entre e .

Passo 8

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 9

Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma substituição simples. Deixe , assim , ou seja, . Substituindo:
Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde .

Passo 11

Expontenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui, é uma nova constante.

Passo 12

Agora, isolamos :
Podemos redefinir como uma nova constante :
Essa é a equação para o movimento para cima.

Passo 13

Para o movimento para baixo, a resistência do ar tem o sinal oposto, já que a velocidade é negativa. Repetindo os passos anteriores, chegamos a uma equação similar, mas com um sinal diferente na exponencial:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

Assim, mostramos que a velocidade da bala varia com a altura de acordo com as equações:
onde e são constantes de integração, é a aceleração da gravidade, e .

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