Um tiro é disparado para cima. Assumindo que a resistência do ar sobre a bala varia quadraticamente com a velocidade, mostre que a velocidade varia com a altura de acordo com as equações:
& v^2=A e^-2 k x-gk (movimento para cima) & v^2=gk-B e^2 k x (movimento para baixo)
em que A e B são constantes de integração, g é a aceleração da gravidade, e k=c2m, onde c2 é a constante de resistência e m é a massa da bala. (Nota: x é medido positivamente para cima, e a força gravitacional é assumida como constante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o movimento de um tiro para cima, considerando a resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade. O objetivo é mostrar como a velocidade da bala varia com a altura usando as equações fornecidas. Para resolver isso, vamos precisar entender as leis do movimento com resistência do ar e usar um pouco de cálculo, especialmente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m cdot a
Aqui, é a aceleração da bala.

Passo 3

No nosso caso, a bala está sujeita a duas forças: a força gravitacional para baixo, que é Fr = -c2 cdot v^2 , e a resistência do ar, que depende da velocidade. A resistência do ar que varia quadraticamente com a velocidade pode ser escrita como:
O sinal negativo indica que a resistência do ar sempre age na direção oposta ao movimento.

Passo 4

Então, a força resultante quando a bala está subindo (movimento para cima) é:
F = Fg + Fr = m cdot g - c2 cdot v^2
Aplicando a segunda lei de Newton:
m cdot a = m cdot g - c2 cdot v^2

Passo 5

A aceleração m cdot v cdot dvdx = m cdot g - c2 cdot v^2 é a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como queremos a relação entre velocidade e altura, vamos usar a relação , onde é a altura. Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar dividindo ambos os lados por v cdot dvdx = g - c2m cdot v^2 :
v cdot dvdx = g - k cdot v^2
Aqui, definimos , então a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reorganizando a equação:
vg - k cdot v^2 , dv = dx
Essa é uma equação diferencial que podemos integrar para encontrar a relação entre e .

Passo 8

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a integral vg - k v^2 , dv = integral dx e o lado direito em relação a :

Passo 9

Para resolver a integral à esquerda, fazemos uma substituição simples. Deixe integral vu , dv = integral -du2k u = -12k integral 1u , du = -12k ln |u| + C , assim -12k ln |g - k v^2| = x + C , ou seja, . Substituindo:
Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos resolver para ln |g - k v^2| = -2k x + C' . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde .

Passo 11

Expontenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
g - k v^2 = A e^-2k x
Aqui, é uma nova constante.

Passo 12

Agora, isolamos v^2 = gk - Ak e^-2k x :
v^2 = A' e^-2k x - gk
Podemos redefinir como uma nova constante :
Essa é a equação para o movimento para cima.

Passo 13

Para o movimento para baixo, a resistência do ar tem o sinal oposto, já que a velocidade é negativa. Repetindo os passos anteriores, chegamos a uma equação similar, mas com um sinal diferente na exponencial:
v^2 = gk - B e^2k x
Onde é outra constante de integração.

Resposta

Assim, mostramos que a velocidade da bala varia com a altura de acordo com as equações:
& v^2=A e^-2 k x-gk (movimento para cima) & v^2=gk-B e^2 k x (movimento para baixo)
onde e são constantes de integração, é a aceleração da gravidade, e .

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