Uma força conservativa tem a forma F(x)=3 x^2+3 x+1 (N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em x=0 e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: a. a função energia potencial em função da posição

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma força conservativa dada por (N). A questão pede para encontrar a função de energia potencial sabendo que e que a energia mecânica total do sistema é 10 J. Para resolver isso, vamos usar o conceito de que energia potencial está relacionada à força por integração.

Passo 2

Primeiro, lembra que a energia potencial U(x) = -integral F(x) , dx + C pode ser encontrada integrando a força negativa em relação à posição :
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição .

Passo 3

Vamos calcular a integral de F(x) = 3x^2 + 3x + 1 :
integral F(x) , dx = integral 3x^2 , dx + integral 3x , dx + integral 1 , dx = x^3 + 32x^2 + x + C
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da energia potencial:
U(x) = -( x^3 + 32x^2 + x ) + C
Simplificando:
U(x) = -x^3 - 32x^2 - x + C

Passo 5

Usamos a condição dada 0 = -0 - 0 - 0 + C Rightarrow C = 0 para encontrar U(x) = -x^3 - 32x^2 - x :
Então, a funç��o de energia potencial fica:

Resposta

A função de energia potencial em função da posição é:
U(x) = -x^3 - 32x^2 - x

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