Uma força F=x tildei-tildej (N) é aplicada sobre um corpo que se desloca desde ro=2 jmath(m) até o ponto r=2 imath(m). Qual o trabalho da força sobre o corpo?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física, mais especificamente de trabalho e energia. O enunciado nos apresenta uma força que varia com a posição, F = x,imath - jmath (N), aplicada a um corpo que se move de um ponto inicial ro = 2,jmath (m) até o ponto final r = 2,imath (m). Precisamos calcular o trabalho realizado por essa força durante o deslocamento do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força durante um deslocamento é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento, ou seja:
W = integral F cdot dr
No nosso caso, a força depende da posição x, então precisamos expressar essa integral ao longo do caminho percorrido pelo corpo.

Passo 3

Vamos definir o caminho do deslocamento. O corpo se move de ro = 2,jmath até r = 2,imath. Isso significa que o deslocamento começa no ponto (0, 2) e termina no ponto (2, 0) no plano cartesiano.
Para facilitar, podemos parametrizar o caminho com uma variável t que varia de 0 a 1:
r(t) = (2t),imath + (2 - 2t),jmath, t in [0, 1]
Dessa forma, quando t=0, r(0) = 0,imath + 2,jmath, e quando t=1, r(1) = 2,imath + 0,jmath.
Agora, vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t para encontrar dr:
drdt = 2,imath - 2,jmath Rightarrow dr = (2,imath - 2,jmath),dt
A força F = x,imath - jmath depende de x. Usando a parametrização, temos x = 2t. Então:
F(t) = (2t),imath - jmath
Agora, podemos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (2t,imath - jmath) cdot (2,imath - 2,jmath),dt = (2t times 2) + (-1 times -2),dt = (4t + 2),dt

Passo 4

Agora, integramos essa expressão de t=0 a t=1 para encontrar o trabalho total:
W = integral0^1 (4t + 2),dt
Calculando a integral:
W = [2t^2 + 2t]0^1 = (2(1)^2 + 2(1)) - (2(0)^2 + 2(0)) = 2 + 2 - 0 = 4 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força sobre o corpo é de 4 joules.

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