Que força corresponde a uma energia potencial U=-a x^2+b x y+z ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma energia potencial representada pela fórmula . Nosso objetivo é encontrar a força correspondente a essa energia potencial. Para isso, vamos usar o conceito de que a força é o negativo do gradiente da energia potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como nossa energia potencial nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y, partial Upartial z ) , é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de partial Upartial x = partialpartial x ( -a x^2 + b x y + z ) = -2a x + b y em relação a partial Upartial y = partialpartial y ( -a x^2 + b x y + z ) = b x :
partial Upartial z = partialpartial z ( -a x^2 + b x y + z ) = 1
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, podemos formar o gradiente de nabla U = ( -2a x + b y, ; b x, ; 1 ) :

Passo 5

Agora, aplicamos a relação entre a força F = -nabla U e a energia potencial :
Isso significa que cada componente da força será o negativo da respectiva derivada parcial.

Passo 6

Vamos calcular cada componente da força:
  1. Componente em Fx = -(-2a x + b y) = 2a x - b y :
Fy = -b x
  1. Componente em Fz = -1 :
  1. Componente em :

Resposta

A força correspondente à energia potencial F = ( 2a x - b y, ; -b x, ; -1 ) é:

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