Que força corresponde a uma energia potencial ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma energia potencial representada pela fórmula . Nosso objetivo é encontrar a força correspondente a essa energia potencial. Para isso, vamos usar o conceito de que a força é o negativo do gradiente da energia potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como nossa energia potencial , é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas calculadas, podemos formar o gradiente de :

Passo 5

Agora, aplicamos a relação entre a força e a energia potencial :
Isso significa que cada componente da força será o negativo da respectiva derivada parcial.

Passo 6

Vamos calcular cada componente da força:
  1. Componente em :
  1. Componente em :
  1. Componente em :

Resposta

A força correspondente à energia potencial é:

Exercícios relacionados

Uma bomba é projetada para retirar 780 litros de água por minuto de um poço com profundidade de 6 m e lançá-la com velocidade de . a) Qual o trabalho realizado por minuto para retirar a água? b) Quanto é transformado em energia cinética? c) Qual é a potência do motor, em ?
A força exercida por um gás dentro de um cilindro sobre um pistão de área é dada por , onde é a pressão. O trabalho para um deslocamento do pistão desde a é: , onde é a variação infinitesimal do volume do gás. Durante uma expansão do gás à temperatura constante (isotérmica) a pressão depende do volume de acordo com a relação , onde e são constantes e é a temperatura. Calcular o trabalho numa expansão isotérmica desde um volume até ;
Um carro de 700 kg acelera do repouso no instante , com potência constante. No instante está a do ponto de partida e sua aceleração é . Calcular a potência do motor do carro desprezando perdas por atrito.
Questão (1,0). Explique detalhadamente, após assistir a série Universo Mecânico, como Galileu e Newton chegaram as expressões da cinemática para a queda livre de corpos. Escreva essas expressões! De que maneira o cálculo diferencial e integral suportou essas descobertas?