Questão (1,0). Explique detalhadamente, após assistir a série Universo Mecânico, como Galileu e Newton chegaram as expressões da cinemática para a queda livre de corpos. Escreva essas expressões! De que maneira o cálculo diferencial e integral suportou essas descobertas?
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre como Galileu e Newton chegaram às fórmulas que descrevem como os objetos caem, ou seja, a cinemática da queda livre. A matéria aqui é cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas desse movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as ideias de Galileu e Newton, além de como o cálculo diferencial e integral ajudaram nessas descobertas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que Galileu Galilei foi um dos primeiros a estudar o movimento dos corpos de forma sistemática. Ele observou que, em queda livre, todos os objetos aceleram na mesma taxa, independentemente de sua massa. Isso foi revolucionário porque, antes dele, acreditava-se que objetos mais pesados caíam mais rápido.
Passo 3
Galileu fez experimentos inclinando planos e medindo o tempo que os objetos levavam para descer. Com base nisso, ele concluiu que a distância percorrida por um objeto em queda livre aumenta de forma proporcional ao quadrado do tempo. Ou seja, quanto mais tempo o objeto cai, mais rápido a distância percorrida aumenta.
Passo 4
Avançando no tempo, Isaac Newton desenvolveu as leis do movimento e a lei da gravitação universal. Ele utilizou o cálculo diferencial e integral para descrever matematicamente o movimento dos corpos. O cálculo permitiu que Newton formulasse as leis de forma precisa, relacionando força, massa e aceleração.
Passo 5
Agora, vamos às expressões matemáticas da cinemática para a queda livre:
A posição
de um objeto em queda livre em função do tempo
é dada por:
Onde:
-
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração devido à gravidade.
A velocidade
do objeto em função do tempo
é:
Passo 6
O cálculo diferencial foi fundamental para Newton ao permitir que ele derivasse a velocidade a partir da posição e a aceleração a partir da velocidade. Já o cálculo integral permitiu calcular a posição a partir da velocidade. Ou seja, a matemática do cálculo foi a ferramenta que Newton usou para formular e derivar essas leis de movimento de forma precisa e generalizada.
Resposta
Galileu e Newton desenvolveram as expressões da cinemática para a queda livre utilizando observações experimentais e ferramentas matemáticas avançadas como o cálculo diferencial e integral. As expressões são:
O cálculo diferencial permitiu derivar a velocidade a partir da posição, e o cálculo integral possibilitou calcular a posição a partir da velocidade, sustentando matematicamente as descobertas sobre o movimento dos corpos em queda livre.