Uma força dada por
atua sobre uma massa de
movendo-se sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de
para
.
(b) Se a massa tem uma velocidade de
em
, qual é a sua velocidade em
?
(b) Se a massa tem uma velocidade de
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem uma força que depende da posição, dada por
, agindo sobre uma massa de
. Essa massa se move de
para
sem atrito. A gente quer descobrir qual é a velocidade da massa em
sabendo que ela tinha
em
.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio do Trabalho e da Energia, que relaciona o trabalho feito pela força com a variação da energia cinética da massa. A gente vai precisar calcular o trabalho realizado pela força e depois usar isso para encontrar a velocidade final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
feito por uma força que varia com a posição pode ser calculado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Integrando
:
Avaliar de
a
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 4
Agora, segundo o Princípio do Trabalho e da Energia, o trabalho total realizado pela força é igual à variação da energia cinética (
) da massa:
Onde:
Sabemos que a massa
, a velocidade inicial
e queremos encontrar a velocidade final
.
Passo 5
Vamos substituir na equação:
Calculando:
Isolando
:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade da massa em
é aproximadamente
.