Uma força dada por F(x)=5,00 x^3 widehati(N / m^3) atua sobre uma massa de 1,00 kg movendo-se sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de x=2,00 m para x=6,00 m.
(b) Se a massa tem uma velocidade de 2,00 m / s em x=2,00 m, qual é a sua velocidade em x=6,00 m ?

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem uma força que depende da posição, dada por , agindo sobre uma massa de . Essa massa se move de para sem atrito. A gente quer descobrir qual é a velocidade da massa em sabendo que ela tinha em .
Para resolver isso, vamos usar o Princípio do Trabalho e da Energia, que relaciona o trabalho feito pela força com a variação da energia cinética da massa. A gente vai precisar calcular o trabalho realizado pela força e depois usar isso para encontrar a velocidade final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W = integralxi^xf F(x) , dx feito por uma força que varia com a posição pode ser calculado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
W = integral2,00^6,00 5,00 x^3 , dx
Integrando integral 5,00 x^3 , dx = 5,004 x^4 + C :
W = [ 5,004 x^4 ]2,00^6,00 = 5,004 (6,00^4 - 2,00^4)
Avaliar de 6,00^4 = 1296 e 2,00^4 = 16 a W = 5,004 (1296 - 16) = 5,004 times 1280 = 5,00 times 320 = 1600 , J :
Calculando os valores:
Então:

Passo 4

Agora, segundo o Princípio do Trabalho e da Energia, o trabalho total realizado pela força é igual à variação da energia cinética ( W = De) da massa:
KE = 12 m v^2
Onde:
Sabemos que a massa , a velocidade inicial e queremos encontrar a velocidade final .

Passo 5

Vamos substituir na equação:
1600 = 12 times 1,00 times vf^2 - 12 times 1,00 times (2,00)^2
Calculando:
1600 = 12 vf^2 - 2
Isolando 12 vf^2 = 1602 implies vf^2 = 3204 :
vf = raiz3204 approx 56,61 , m/s
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade da massa em é aproximadamente .

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