Uma força dada pela expressão age sobre uma partícula de 2 kg , que parte do repouso. (a) Calcule o trabalho realizado pela força durante os primeiros 2 segundos. (b) Obtenha a energia cinética que a partícula ganha num tempo t . Depois faça e analise o resultado. , para s temos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula de 2 kg que começa parada e uma força que varia com o tempo, dada por . O que a gente precisa fazer é calcular o trabalho realizado por essa força nos primeiros 2 segundos e também descobrir a energia cinética que a partícula ganha em um tempo . Para isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pela força durante os primeiros 2 segundos. O trabalho realizado por uma força variável pode ser calculado integrando a força em relação ao deslocamento. Mas como a força varia com o tempo, precisamos relacionar o deslocamento com o tempo.
Passo 3
Sabemos que o trabalho também pode ser relacionado à energia cinética através do Teorema do Trabalho e Energia, que diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética:
Como a partícula parte do repouso, a energia cinética final será igual ao trabalho realizado.
Passo 4
Para encontrar o trabalho realizado, vamos integrar a força em relação ao deslocamento. Primeiro, precisamos encontrar a aceleração da partícula. Usando a segunda lei de Newton:
Onde e , então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Como a partícula parte do repouso, , então . Assim:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição . A velocidade é a derivada da posição:
Integrando:
Como a partícula começa no ponto , , então . Logo:
Passo 7
O trabalho realizado pela força é:
Integrando:
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos a energia cinética em função do tempo . Pelo Teorema do Trabalho e Energia:
Quando :
Resposta
(a) O trabalho realizado pela força nos primeiros 2 segundos é .
(b) A energia cinética em função do tempo é . Para , a energia cinética é .