Uma força dada pela expressão F(t)=6 t N age sobre uma partícula de 2 kg , que parte do repouso. (a) Calcule o trabalho realizado pela força durante os primeiros 2 segundos. (b) Obtenha a energia cinética que a partícula ganha num tempo t . Depois faça t=2 s e analise o resultado. [36,0 J ; 2,25 t^4 J, para t=2 s temos K=36,0 J]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem uma partícula de 2 kg que começa parada e uma força que varia com o tempo, dada por . O que a gente precisa fazer é calcular o trabalho realizado por essa força nos primeiros 2 segundos e também descobrir a energia cinética que a partícula ganha em um tempo . Para isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pela força durante os primeiros 2 segundos. O trabalho realizado por uma força variável pode ser calculado integrando a força em relação ao deslocamento. Mas como a força varia com o tempo, precisamos relacionar o deslocamento com o tempo.

Passo 3

Sabemos que o trabalho também pode ser relacionado à energia cinética através do Teorema do Trabalho e Energia, que diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética:
W = De
Como a partícula parte do repouso, a energia cinética final será igual ao trabalho realizado.

Passo 4

Para encontrar o trabalho realizado, vamos integrar a força em relação ao deslocamento. Primeiro, precisamos encontrar a aceleração da partícula. Usando a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Onde a(t) = F(t)m = 6t2 = 3t , m/s^2 e , então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade a(t) = dvdt = 3t . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
v(t) = integral 3t , dt = 32 t^2 + C
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
v(t) = 32 t^2
Como a partícula parte do repouso, , então . Assim:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição v(t) = dsdt = 32 t^2 . A velocidade é a derivada da posição:
s(t) = integral 32 t^2 , dt = 32 cdot t^33 + C = t^32 + C
Integrando:
s(t) = t^32
Como a partícula começa no ponto , , então . Logo:

Passo 7

O trabalho realizado pela força é:
W = integral F(t) cdot ds = integral0^2 6t cdot 32 t^2 , dt = integral0^2 9t^3 , dt
Integrando:
W = 9 cdot t^44 |0^2 = 94 (2^4 - 0) = 94 cdot 16 = 36 , J

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos a energia cinética em função do tempo K(t) = W(t) = 94 t^4 = 2,25 , t^4 , J . Pelo Teorema do Trabalho e Energia:
K = 2,25 cdot (2)^4 = 2,25 cdot 16 = 36 , J
Quando :

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força nos primeiros 2 segundos é .
(b) A energia cinética em função do tempo é . Para , a energia cinética é .

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