Uma massa
, ligada a um fio de comprimento
, com o outro extremo fixo (trata-se de um pêndulo simples), é deslocada de um ângulo
com a vertical e abandonada. (a) Determine a expressão da velocidade da massa quando o fio forma um ângulo
(não nulo) com a vertical. (b) Considere
,
e
e calcule o valor da velocidade dada pela (a), do mesmo lado e do lado oposto. © Calcule a velocidade da massa no ponto mais baixo da trajetória, considerando os valores dados em (b). (d) Se a massa do pêndulo fosse o dobro, isto é, 2 m , as velocidades calculadas seriam maiores, menores ou não mudariam? Justifique.
nos dois lados, por simetria;
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem um pêndulo simples, que é uma massa
presa em um fio de comprimento
. Essa massa é puxada para um ângulo inicial
com a vertical e depois solta. A pergunta tem quatro partes:
a) Queremos descobrir a velocidade da massa quando o fio faz um ângulo
com a vertical.
b) Com
m,
e
, calcular essa velocidade para os dois lados.
c) Calcular a velocidade da massa no ponto mais baixo da trajetória com esses valores.
d) Se a massa dobrar, como isso afeta as velocidades calculadas?
Pra resolver tudo isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinética do movimento circular. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial gravitacional e energia cinética.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A ideia aqui é usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (potencial + cinética) se mantém constante se não tem atrito ou forças dissipativas.
Quando a massa está no ponto mais alto (
), toda a energia é potencial:
onde
é a altura em relação ao ponto mais baixo. Podemos relacionar
com o comprimento do fio e o ângulo:
Então:
Quando a massa está no ângulo
, ela tem energia potencial e cinética:
Pela conservação da energia:
Então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Multiplicando por 2:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos valores específicos:
Primeiro, precisamos converter os ângulos para radianos ou trabalhar com cossenos em graus, já que a calculadora pode fazer isso. Vamos calcular
usando a fórmula que derivamos:
Sabemos que
e
. Calculando os cossenos:
Então:
Arredondando, temos
nos dois lados, por causa da simetria do movimento do pêndulo.
Passo 4
Na parte ©, queremos a velocidade no ponto mais baixo da trajetória. Nesse ponto, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética. Usando novamente a conservação de energia:
Simplificando:
Com
:
Assim, a velocidade no ponto mais baixo é aproximadamente
.
Passo 5
Finalmente, na parte (d), a massa do pêndulo passa a ser
. Vamos ver como isso afeta as velocidades.
Observamos nas fórmulas anteriores que a massa
não aparece na expressão para a velocidade
. Isso porque a energia potencial e cinética dependem de
, mas ao simplificar as equações, o
se cancela.
Portanto, se a massa dobra, ou seja,
, as velocidades calculadas anteriormente
e
não mudam. A massa não influencia a velocidade nesse caso específico.
Resposta
A velocidade da massa quando o fio forma um ângulo
com a vertical é
nos dois lados. A velocidade no ponto mais baixo da trajetória é
. Se a massa do pêndulo dobrar, as velocidades calculadas não mudam.
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, para
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