Uma massa m, ligada a um fio de comprimento L, com o outro extremo fixo (trata-se de um pêndulo simples), é deslocada de um ângulo theta0 com a vertical e abandonada. (a) Determine a expressão da velocidade da massa quando o fio forma um ângulo theta1 (não nulo) com a vertical. (b) Considere L=1 m, theta0=30^circ e theta1=10^circ e calcule o valor da velocidade dada pela (a), do mesmo lado e do lado oposto. © Calcule a velocidade da massa no ponto mais baixo da trajetória, considerando os valores dados em (b). (d) Se a massa do pêndulo fosse o dobro, isto é, 2 m , as velocidades calculadas seriam maiores, menores ou não mudariam? Justifique. [v1=[2 g L(cos theta1-cos theta0)]^1 / 2 ; 1,527 m / s nos dois lados, por simetria; v2=1,620 m / s]

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem um pêndulo simples, que é uma massa presa em um fio de comprimento . Essa massa é puxada para um ângulo inicial com a vertical e depois solta. A pergunta tem quatro partes:
a) Queremos descobrir a velocidade da massa quando o fio faz um ângulo com a vertical.
b) Com m, e , calcular essa velocidade para os dois lados.
c) Calcular a velocidade da massa no ponto mais baixo da trajetória com esses valores.
d) Se a massa dobrar, como isso afeta as velocidades calculadas?
Pra resolver tudo isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinética do movimento circular. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial gravitacional e energia cinética.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A ideia aqui é usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (potencial + cinética) se mantém constante se não tem atrito ou forças dissipativas.
Quando a massa está no ponto mais alto ( Einicial = m g h ), toda a energia é potencial:
h = L (1 - cos theta0)
onde Einicial = m g L (1 - cos theta0) é a altura em relação ao ponto mais baixo. Podemos relacionar Efinal = m g L (1 - cos theta1) + 12 m v1^2 com o comprimento do fio e o ângulo:
Einicial = Efinal
Então:
m g L (1 - cos theta0) = m g L (1 - cos theta1) + 12 m v1^2
Quando a massa está no ângulo g L (1 - cos theta0) = g L (1 - cos theta1) + 12 v1^2 , ela tem energia potencial e cinética:
12 v1^2 = g L (cos theta1 - cos theta0)
Pela conservação da energia:
v1^2 = 2 g L (cos theta1 - cos theta0)
Então:
v1 = raiz2 g L (cos theta1 - cos theta0)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Multiplicando por 2:
E tirando a raiz quadrada:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, temos valores específicos:
L = 1,m, theta0 = 30^circ, theta1 = 10^circ
Primeiro, precisamos converter os ângulos para radianos ou trabalhar com cossenos em graus, já que a calculadora pode fazer isso. Vamos calcular v1 = raiz2 g L (cos 10^circ - cos 30^circ) usando a fórmula que derivamos:
cos 10^circ approx 0,9848
Sabemos que cos 30^circ approx 0,8660 e v1 = raiz2 times 9,8 times 1 times (0,9848 - 0,8660) . Calculando os cossenos:
v1 = raiz19,6 times 0,1188
v1 = raiz2,3293 approx 1,525,m/s
Então:
Arredondando, temos nos dois lados, por causa da simetria do movimento do pêndulo.

Passo 4

Na parte ©, queremos a velocidade no ponto mais baixo da trajetória. Nesse ponto, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética. Usando novamente a conservação de energia:
Einicial = Emais baixo
m g L (1 - cos theta0) = 12 m vbaixo^2
Simplificando:
vbaixo = raiz2 g L (1 - cos theta0)
Com vbaixo = raiz2 times 9,8 times 1 times (1 - 0,8660) :
vbaixo = raiz19,6 times 0,1340
vbaixo = raiz2,6264 approx 1,621,m/s
Assim, a velocidade no ponto mais baixo é aproximadamente .

Passo 5

Finalmente, na parte (d), a massa do pêndulo passa a ser . Vamos ver como isso afeta as velocidades.
Observamos nas fórmulas anteriores que a massa não aparece na expressão para a velocidade . Isso porque a energia potencial e cinética dependem de , mas ao simplificar as equações, o se cancela.
Portanto, se a massa dobra, ou seja, , as velocidades calculadas anteriormente e não mudam. A massa não influencia a velocidade nesse caso específico.

Resposta

A velocidade da massa quando o fio forma um ângulo com a vertical é nos dois lados. A velocidade no ponto mais baixo da trajetória é . Se a massa do pêndulo dobrar, as velocidades calculadas não mudam.

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