Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida assim:
E o ponto que a gente quer verificar a continuidade é . A matéria aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor da função em . Olhando a definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2, mas sem exatamente ser 2. Isso significa que vamos olhar para .

Passo 4

Vamos ver o que acontece com quando se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (à direita) e por valores menores que 2 (à esquerda):
  • Se se aproxima de 2 pela direita ( ):
  • Se se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (um vai para mais infinito e o outro para menos infinito), o limite geral da função quando se aproxima de 2 não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 2 não existe e é diferente de , a função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Determine se o campo vetorial é ou não conservativo. Se for, determine sua função potencial.
.
A força elétrica exercida por uma carga elétrica colocada na origem do sobre uma carga localizada no ponto com vetor posição é
onde é uma constante.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças).
Frequentemente, em vez de considerar o campo de força elétrica , os físicos consideram o campo vetorial
Temos que é um campo vetorial tridimensional chamado de campo elétrico de .
Mostre que o campo elétrico é conservativo e exiba sua função potencial.
Calcule os limites abaixo justificando com as propriedades dos limites:
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado: